Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4407. feladat (2011. december)

B. 4407. Legyen k egy pozitív egész szám. Hány nemnegatív egész megoldása van az


\Big[\frac xk\Big] = \Big[\frac x{k+1}\Big]

egyenletnek?

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Ha \(\displaystyle x\ge 0\), akkor \(\displaystyle [x/k]\) is nemnegatív egész szám. Tegyük fel tehát, hogy az \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle N\) nemnegatív egész számokra

\(\displaystyle \left[\frac xk\right] = \left[\frac x{k+1}\right]=N.\)

Ez pontosan azt jelenti, hogy

\(\displaystyle N\le \frac{x}{k+1}\le\frac{x}{k}<N+1,\)

vagyis hogy \(\displaystyle Nk+N\le x< Nk+k\). Ha \(\displaystyle N\ge k\), akkor nincsen ilyen \(\displaystyle x\) egész szám, a \(\displaystyle 0\le N<k\) esetben pedig pontosan \(\displaystyle k-N\) ilyen \(\displaystyle x\) egész szám van, méghozzá nem is negatív. Ezért az egyenlet nemnegatív egész megoldásainak száma

\(\displaystyle k+(k-1)+\ldots+2+1=\frac{k(k+1)}{2}.\)


Statisztika:

104 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:69 versenyző.
3 pontot kapott:18 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:8 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai