Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4424. feladat (2012. február)

B. 4424. A Bergengóc Közlekedési Vállalat buszjárat létesítését tervezi egy ,,egyenletesen sűrűn'' lakott, \ell hosszú egyenes úton. Hogyan helyezzék el az n db megállóhelyet, ha azt szeretnék, hogy az út mentén lakók a lehető legkevesebbet gyalogoljanak?

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.


Megoldás. Az út két végpontját jelölje \(\displaystyle A_0\) és \(\displaystyle A_{n+1}\), a megállók helyét \(\displaystyle A_1,\ldots,A_n\) úgy, hogy az \(\displaystyle A_0,A_1,\ldots,A_{n+1}\) pontok ebben a sorrendben kövessék egymást, \(\displaystyle 1\le i<n\) esetén pedig az \(\displaystyle A_iA_{i+1}\) szakasz felezőpontját jelölje \(\displaystyle F_i\). Az \(\displaystyle A_0A_1\) útszakaszon lakók az \(\displaystyle A_1\), az \(\displaystyle A_nA_{n+1}\) útszakaszon lakók az \(\displaystyle A_n\), az \(\displaystyle A_iF_i\) útszakaszon lakók az \(\displaystyle A_i\), az \(\displaystyle F_iA_{i+1}\) útszakszon lakók pedig az \(\displaystyle A_{i+1}\) pontban lévő megállóhoz fognak gyalogolni. Hogy a feladatot értelmezni tudjuk, azzal a feltevéssel élünk, hogy \(\displaystyle x\) hosszú útszakaszon mindig \(\displaystyle \alpha x\) lakos lakik, függetlenül attól, hogy ez egész szám, vagy sem; ez azt is jelenti, hogy adott útszakaszról adott megállóba átlagosan ugyanannyit gyalogolnak az ott lakók. Azt is fel kell tennünk persze, hogy a lakók ugyanannyiszor szállnak buszra.

Az \(\displaystyle A_0A_1\) szakasz hossza legyen \(\displaystyle x_0\), az \(\displaystyle A_nA_{n+1}\) szakaszé \(\displaystyle x_{n}\), \(\displaystyle 1\le i< n\) esetén pedig az \(\displaystyle A_iA_{i+1}\) szakasz hossza legyen \(\displaystyle 2x_i\). Ezek szerint \(\displaystyle x_0+2x_1+\ldots+2x_{n-1}+x_n=\ell\). Ekkor feltételezésünk szerint a lakók alkalmanként összesen

\(\displaystyle S=(\alpha x_0)\cdot\frac{x_0}{2}+(2\alpha x_1)\cdot\frac{x_1}{2}+\ldots+(2\alpha x_{n-1})\cdot\frac{x_{n-1}}{2}+(\alpha x_n)\cdot\frac{x_n}{2}\)

utat gyalogolnak. A számtani és négyzetes közepek közötti összefüggés szerint

\(\displaystyle S=(n\alpha)\cdot\frac{x_0^2+x_1^2+x_1^2+\ldots+x_{n-1}^2+x_{n-1}^2+x_n^2}{2n} \ge\)

\(\displaystyle \ge (n\alpha)\cdot \left(\frac{x_0+x_1+x_1+\ldots+x_{n-1}+x_{n-1}+x_n}{2n}\right)^2 =\frac{\alpha\ell^2}{4n},\)

ahol egyenlőség pontosan az \(\displaystyle x_0=x_1=\ldots=x_n=\ell/2n\) esetben áll fenn. Ez azt jelenti, hogy a megállókat egyenletes közökben kell elhelyezni úgy, hogy az első, illetve utolsó megálló az út megfelelő végétől pontosan fél megállóköz távolságra legyen.


Statisztika:

87 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Ágoston Péter, Balogh Tamás, Barna István, Cserna Balázs, Czipó Bence, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Jávorszky Natasa, Kecskés Boglárka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kulcsár Ildikó, Kúsz Ágnes, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Anna Noémi, Solti Bálint, Szabó 262 Lóránt, Szabó 777 Bence, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás.
3 pontot kapott:Babik Bálint, Badacsonyi István András, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Géczi Péter Attila, Homonnay Bálint, Kabos Eszter, Leitereg András, Medek Ákos, Mihálykó András, Nagy Bence Kristóf, Nagy Róbert, Pálfi Dóra, Papp Roland, Schwarcz Tamás, Somogyvári Kristóf, Strenner Péter, Weimann Richárd.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:6 versenyző.
0 pontot kapott:34 versenyző.

A KöMaL 2012. februári matematika feladatai