Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4433. feladat (2012. március)

B. 4433. Oldjuk meg az (1+x)8+(1+x2)4=82x4 egyenletet.

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. április 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A zárójeleket kibontva, átrendezés után a

\(\displaystyle 2x^8+8x^7+32x^6+56x^5-6x^4+56x^3+32x^2+8x+2=0\)

egyenlethez jutunk. Mivel \(\displaystyle x=0\) nem megoldása az egyenletnek, az ekvivalens az

\(\displaystyle \left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)+ 4\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)+ 16\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+ 28\left(x+\frac{1}{x}\right)-3=0\)

egyenlettel. A \(\displaystyle y=x+1/x\) helyettesítéssel ezt az

\(\displaystyle y^4+4y^3+12y^2+16y-33=0\)

alakra hozhatjuk. Szorzattá alakítva az egyenlet az

\(\displaystyle (y-1)(y+3)(y^2+2y+11)=0\)

alakot ölti. Itt \(\displaystyle y^2+2y+11=(y+1)^2+10>0\), tehát innen \(\displaystyle y=1\) vagy \(\displaystyle y=-3\) adódik. Mivel az \(\displaystyle x+1/x=1\) egyenletnek nincsen megoldása a valós számok körében, az eredeti egyenlet ekvivalens az \(\displaystyle x+1/x=-3\) egyenlettel, melynek megoldása

\(\displaystyle x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}.\)


Statisztika:

103 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:80 versenyző.
2 pontot kapott:12 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:10 versenyző.

A KöMaL 2012. márciusi matematika feladatai