Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4448. feladat (2012. április)

B. 4448. Az ABC háromszög AC oldalához tartozó hozzáírt köre a BC, AC és AB oldalegyeneseket rendre az A1, B1 és C1 pontokban érinti. Legyen F az A1B1 szakasz felezőpontja. Igazoljuk, hogy B_1C_1C \sphericalangle = A_1C_1F
\sphericalangle.

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Tekintsük az AB1C1, BA1C1 és CA1B1 egyenlő szárú háromszögeket. A szokásos jelölésekkel AB_1C_1\sph=AC_1B_1\sph=
\alpha/2, CA_1B_1\sph=CB_1A_1\sph=\gamma/2 és BA_1C_1\sph=BC_1A_1\sph=
90^\circ-\beta/2=\alpha/2+\gamma/2. Innen kapjuk, hogy CB_1C_1\sph=
180^\circ-\alpha/2, A_1B_1C_1\sph=180^\circ-\alpha/2-\gamma/2=
90^\circ+\beta/2, B_1A_1C_1\sph=\alpha/2, valamint A_1C_1B_1\sph=\gamma/2<90^\circ.

A szinusz-tételt az A1C1F és B1C1F háromszögekre alkalmazva

\frac{\sin A_1C_1F\sph}{\sin C_1A_1F\sph}=\frac{A_1F}{C_1F}=
\frac{B_1F}{C_1F}=\frac{\sin B_1C_1F\sph}{\sin C_1B_1F\sph}

adódik, ahonnan

\frac{\sin A_1C_1F\sph}{\sin B_1C_1F\sph}=
\frac{\sin C_1A_1F\sph}{\sin C_1B_1F\sph}=
\frac{\sin \alpha/2}{\sin (90^\circ+\beta/2)}.

Ugyanezt az A1C1C és B1C1C háromszögekre elvégezve a

\frac{\sin A_1C_1C\sph}{\sin C_1A_1C\sph}=\frac{A_1C}{C_1C}=
\frac{B_1C}{C_1C}=\frac{\sin B_1C_1C\sph}{\sin C_1B_1C\sph},

\frac{\sin A_1C_1C\sph}{\sin B_1C_1C\sph}=
\frac{\sin C_1A_1C\sph}{\sin C_1B_1C\sph}=
\frac{\sin (90^\circ-\beta/2)}{\sin (180^\circ-\alpha/2)}

összefüggéseket kapjuk. Mivel sin (90o+\beta/2)=sin (90o-\beta/2) és sin (180o-\alpha/2)=sin \alpha/2, végül

\frac{\sin A_1C_1F\sph}{\sin B_1C_1F\sph}=
\frac{\sin B_1C_1C\sph}{\sin A_1C_1C\sph}.

Figyelembe véve, hogy

 A_1C_1C\sph+B_1C_1C\sph=B_1C_1F\sph+A_1C_1F\sph=
A_1C_1B_1\sph<90^\circ

és hogy a (0,90o) intervallumon a \sin x/\sin({A_1C_1B_1\sph}-x) függvény szigorúan monoton növekedő, ebből éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.


Statisztika:

21 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Ágoston Tamás, Bingler Arnold, Fehér Zsombor, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Janzer Olivér, Medek Ákos, Mester Márton, Nagy Anna Noémi, Ódor Gergely, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila.
3 pontot kapott:Bősze Zsuzsanna, Gyarmati Máté, Nagy Róbert.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.

A KöMaL 2012. áprilisi matematika feladatai