Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4462. feladat (2012. szeptember)

B. 4462. Egy doboz paprikásszalámis és egy doboz medvehagymás, nyolccikkelyes Maci-sajtot kiborítunk az asztalra, majd a 16 kis sajtot (címkéjükkel felfelé) visszatesszük a dobozokba. Hányféleképpen tehetjük ezt meg, ha a forgatással egymásba vihető elrendezéseket nem tekintjük különbözőnek, a két dobozt viszont megkülönböztetjük egymástól?

Javasolta: Koncz Levente (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. október 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Jelölje fn azon lehetőségek számát ahányféleképpen n darab paprikásszalámis és 8-n darab medvehagymás cikkelyt el tudunk rendezni egy dobozba úgy, hogy a forgatással egymásba vihető elrendezéseket nem tekintjük különbözőnek. Nyilván fn=f8-n és ha az első dobozba n darab paprikásszalámis sajt kerül, akkor a másodikba 8-n. Ezért a különböző lehetőségek száma

L=\sum_{i=0}^8f_nf_{8-n}=2\left(f_0^2+f_1^2+f_2^2+f_3^2\right)+f_4^2.

Nyilván f0=f1=1, továbbá f2=4, hiszen a két darab paprikásszalámis sajt között 0,1,2, vagy 3 hely maradhat ki. Azt sem nehéz megállapítani, hogy f3=7 és f4=10. Ha 3 darab paprikásszalámis sajt kerül a dobozba, akkor egy lehetőség az, hogy közvetlenül egymás mellett vannak, 4 olyan elrendezés van melyben kettő szomszédos, de a harmadik nem szomszédos egyikkel sem, és két olyan elrendezés van, amelyben semelyik kettő nem szomszédos. Ha pedig 4 darab paprikásszalámis sajt kerül a dobozba, akkor egy lehetőség az, hogy mind a 4 egymás mellett van, 3 olyan elrendezés van, melyben 3 egymás mellett van, de a negyedik nem, 3 olyan elrendezés van, melyben pontosan két sajt van, amelyik szomszédos, két olyan elrendezés van, melyben a sajtok két szomszédos párt alkotnak, és végül egy olyan elrendezés van, amelyben semelyik kettő nem szomszédos. Ezek szerint

L=2.(1+1+16+49)+100=234.


Statisztika:

232 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:116 versenyző.
3 pontot kapott:34 versenyző.
2 pontot kapott:35 versenyző.
1 pontot kapott:30 versenyző.
0 pontot kapott:17 versenyző.

A KöMaL 2012. szeptemberi matematika feladatai