Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4465. feladat (2012. szeptember)

B. 4465. Az A0A10 szakaszt felosztottuk 10 egyenlő részre. Az osztópontok rendre A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{9}. Az A8A10 szakaszra emelt szabályos háromszög harmadik csúcsa legyen B. Mutassuk meg, hogy


BA_{0}A_{10}\sphericalangle + BA_{2}A_{10}\sphericalangle +
BA_{3}A_{10}\sphericalangle +BA_{4}A_{10}\sphericalangle =60^{\circ}.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. október 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen az A0A1 szakasz hossza egységnyi, ekkor az A8A10B háromszög B-ből induló magassága A_9B=\sqrt{3}. A szóban forgó szögeket jelölje rendre \alpha,\beta,\gamma,\delta. Ekkor \tg\alpha=\sqrt{3}/9, \tg\beta=\sqrt{3}/7, \tg\gamma=\sqrt{3}/6,
\tg\delta=\sqrt{3}/5. Az összegképlet szerint

\tg(\alpha+\delta)=\frac{\tg\alpha+\tg\delta}{1-\tg\alpha\tg\delta}=
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\tg\beta+\tg\gamma}{1-\tg\beta\tg\gamma}=
\tg(\beta+\gamma),

vagyis \alpha+\delta=\beta+\gamma=30o. A négy szög összege tehát valóban 60o.


Statisztika:

207 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:118 versenyző.
3 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:83 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.

A KöMaL 2012. szeptemberi matematika feladatai