Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4467. feladat (2012. szeptember)

B. 4467. Oldjuk meg a


\sqrt{x}=x^{2}-3x+1 +|x-1|

egyenletet.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. október 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Az egyenlet pontosan akkor értelmezhető, ha x\ge0. Különböztessünk meg két esetet. Az x\ge1 esetben az egyenlet \sqrt{x}=x^2-2x alakba írható. Szükségképpen x2-2x=x(x-2)\ge0, vagyis x\ge2. Ezen feltétel mellett az egyenlet ekvivalens a négyzetreemelésével kapott x=x2(x-2)2 egyenlettel. Mivel x\ne0, ezzel leoszthatunk. átrendezve az x3-4x2+4x-1=0 egyenletet kapjuk. Mivel x\ne1, leoszthatunk (x-1)-gyel, tehát az x2-3x+1 egyenletet kell megoldanunk. Ennek gyökei (3\pm\sqrt{5})/2, ezek közül azonban csak az x=(3+\sqrt{5})/2 elégíti ki az x\ge2 feltételt.

A másik esetben 0\lex<1, ekkor egyenletünk \sqrt{x}=x^2-4x+2. Most szükséges, hogy x2-4x+2=(x-2)2-2\ge0 legyen. Az x-2\ge \sqrt{2} lehetőséget a 0\lex<1 feltétel kizárja, tehát most x-2\le -\sqrt{2}, vagyis 0\le x\le 2 -\sqrt{2}. Ezen feltétel mellett az egyenlet ekvivalens az x=(x2-4x+2)2 egyenlettel. átrendezve az x4-8x3+20x2-17x+4=0 egyenletet kapjuk. Mivel x\ne1, leoszthatunk (x-1)-gyel, tehát az x3-7x2+13x-4=0 egyenletet kell megoldanunk. Mivel x\ne4, (x-4)-gyel is leoszthatunk, így az egyenlet az x2-3x+1=0 alakot ölti. Ennek gyökei közül azonban csak az x=(3-\sqrt{5})/2 elégíti ki a 0\le x\le 2 -\sqrt{2} feltételt.

A feladatnak tehát két megoldása van: x_{1,2}=(3\pm\sqrt{5})/2.


Statisztika:

249 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:154 versenyző.
4 pontot kapott:21 versenyző.
3 pontot kapott:26 versenyző.
2 pontot kapott:22 versenyző.
1 pontot kapott:11 versenyző.
0 pontot kapott:15 versenyző.

A KöMaL 2012. szeptemberi matematika feladatai