Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4473. feladat (2012. október)

B. 4473. Adott a px3-qx2-rx+s=0 harmadfokú egyenlet, ahol p, q, r, s olyan pozitív számok, amelyekre ps=qr. Bizonyítsuk be, hogy az egyenletnek van két különböző valós gyöke. Milyen feltétel esetén van három különböző gyök?

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. november 12-én LEJÁRT.


Útmutatás: Alakítsunk szorzattá.

Megoldás: Legyen r/p=s/q=\alpha; ez egy pozitív szám. A bal oldali kifejezést szorzattá alakítva az egyenlet (px-q)(x2-\alpha)=0 alakot ölti, melynek mindhárom gyöke valós. A gyökök x1=q/p>0, x_2=\sqrt{\alpha}>0 és x_3=-\sqrt{\alpha}<0. Nyilván x2\nex3, és a 3 gyök pontosan akkor különböző, ha q/p\ne \sqrt{\alpha}, vagyis ha q2\nepr.


Statisztika:

146 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:101 versenyző.
2 pontot kapott:32 versenyző.
1 pontot kapott:11 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2012. októberi matematika feladatai