Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4478. feladat (2012. október)

B. 4478. Mutassuk meg, hogy ha \alpha, \beta és \gamma egy hegyesszögű háromszög szögei, akkor


\mathop{\rm tg}\nolimits^3 \alpha +\mathop{\rm tg}\nolimits^3 \beta +\mathop{\rm
tg}\nolimits^3 \gamma \ge 9\sqrt{3}.

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. november 12-én LEJÁRT.


Útmutatás: Tangensek összege megegyezik a szorzatukkal.

Megoldás: Az f(x)=tg x függvény a (0,\pi/2) intervallumon pozitív, szigorúan monoton növekedő, alulról konvex függvény. A hatványközepek között fennálló egyenlőtlenséget, majd a Jensen-egyenlőtlenséget alkalmazva

\frac{\tg^3 \alpha +\tg^3 \beta +\tg^3 \gamma}{3}\ge
\left(\frac{\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma}{3}\right)^3\ge
\tg^3\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right)=\tg^3(\pi/3)=3\sqrt{3},

ahonnan a bizonyítandó állítás leolvasható. Egyenlőség pedig pontosan akkor áll fenn, ha \alpha=\beta=\gamma=\pi/3, vagyis ha a háromszög szabályos.


Statisztika:

111 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fonyó Viktória, Gyulai-Nagy Szuzina, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Khayouti Sára, Kling József, Kovács Balázs Marcell, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Maga Balázs, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Papp Roland, Paulovics Zoltán, Petrényi Márk, Pusztaházi 124 Luca Sára, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Sticza Gergő, Szabó 262 Lóránt, Szabó 789 Barnabás, Szaksz Bence, Szőke Tamás, Tulassay Zsolt, Varga 149 Imre Károly, Varga Zoltán Attila, Venczel Tünde, Vető Bálint, Wiandt Zsófia, Williams Kada, Zilahi Tamás.
3 pontot kapott:47 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:13 versenyző.
0 pontot kapott:6 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.

A KöMaL 2012. októberi matematika feladatai