A B. 4492. feladat (2012. december) |
B. 4492. Bizonyítsuk be, hogy ha az a és b természetes számok csak számjegyeik sorrendjében különböznek egymástól, akkor az 5a és 5b számok számjegyeinek összege egyenlő.
(Kvant)
(3 pont)
A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.
Útmutatás: Hogy számolnánk ki írásban?
Megoldás: Legyen . Ekkor 5a számjegyeinek összege , ahol f(0)=0,f(1)=5,f(2)=1,f(3)=6,f(4)=2,f(5)=7,f(6)=3,f(7)=8,f(8)=4 és f(9)=9. Ez az eredmény pedig nyilván nem függ az a szám jegyeinek sorrendjétől.
A fenti képletet könnyen igazolhatjuk n szerinti indukcióval. Ha n=0, akkor az állítás nyilván igaz. Legyen tehát n1, és tegyük fel hogy (n-1)-re az állítás már igazolást nyert. Nyilván 5a=5an.10n+5a', ahol . Mivel a'<10n, 5a'<5.10n. Ezért 5a' vagy egy legfeljebb n-jegyű szám (a 0-t is ideértve), vagy egy olyan (n+1)-jegyű szám, melynek első számjegye nem nagyobb, mint 4. Az első esetben az 5a számot úgy kapjuk, hogy az 5an szám után (szükség szerint megfelelő számú 0-val elválasztva) leírjuk az 5a' számot. A számjegyek összegét s-sel jelölve, az indukciós feltevés szerint
ahogyan azt állítottuk. A második esetben - az 5a' szám első jegyét e-vel jelölve -, az 5a számot úgy kapjuk, hogy az 5an+e szám után leírjuk az 5a' szám fennmaradó n számjegyét. Mivel e4, 5an utolsó számjegye pedig 0 vagy 5, s(5an+e)=s(5an)+e. Ezért ismétcsak s(5a)=s(5an+e)+(s(5a')-e)=s(5an)+s(5a').
Statisztika:
170 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 74 versenyző. 2 pontot kapott: 36 versenyző. 1 pontot kapott: 41 versenyző. 0 pontot kapott: 13 versenyző. Nem versenyszerű: 6 dolgozat.
A KöMaL 2012. decemberi matematika feladatai