A B. 4493. feladat (2012. december) |
B. 4493. Jelölje az n és k pozitív egészek legnagyobb közös osztóját (n,k), legkisebb közös többszörösét pedig [n,k]. Mutassuk meg, hogy tetszőleges a, b, c pozitív egészek esetén az [a,b], [b,c], [c,a] számok legnagyobb közös osztója megegyezik az (a,b), (b,c), (c,a) számok legkisebb közös többszörösével.
(4 pont)
A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.
Útmutatás: Tekintsük a prímtényezős felbontásokat.
Megoldás: Legyenek azok a prímszámok, melyek az a,b,c számok közül legalább egyet osztanak. Ekkor egyértelműen léteznek olyan i,i,i (1it) nemnegatív egész számok, melyekkel , , . Ezen prímtényezős felbontások szerint az [a,b], [b,c], [c,a] számok legnagyobb közös osztója , az (a,b), (b,c), (c,a) számok legkisebb közös többszöröse pedig alakú, ahol
i=min {max {i,i},max {i,i},max {i,i}},
i=max {min {i,i},min {i,i},min {i,i}}.
Elegendő belátni, hogy minden 1it esetén i=i. Rögzített i mellett szimmetria okokból feltehetjük, hogy iii. Ekkor pedig valóban
i=min {i,i,i}=i=max {i,i,i}=i.
Statisztika:
161 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 116 versenyző. 3 pontot kapott: 16 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 11 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző.
A KöMaL 2012. decemberi matematika feladatai