Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4493. feladat (2012. december)

B. 4493. Jelölje az n és k pozitív egészek legnagyobb közös osztóját (n,k), legkisebb közös többszörösét pedig [n,k]. Mutassuk meg, hogy tetszőleges a, b, c pozitív egészek esetén az [a,b], [b,c], [c,a] számok legnagyobb közös osztója megegyezik az (a,b), (b,c), (c,a) számok legkisebb közös többszörösével.

(4 pont)

A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.


Útmutatás: Tekintsük a prímtényezős felbontásokat.

Megoldás: Legyenek p_1,p_2,\ldots,p_t azok a prímszámok, melyek az a,b,c számok közül legalább egyet osztanak. Ekkor egyértelműen léteznek olyan \alphai,\betai,\gammai (1\lei\let) nemnegatív egész számok, melyekkel a=\prod_{i=1}^t p_i^{\alpha_i}, b=\prod_{i=1}^t
p_i^{\beta_i}, c=\prod_{i=1}^t p_i^{\gamma_i}. Ezen prímtényezős felbontások szerint az [a,b], [b,c], [c,a] számok legnagyobb közös osztója d=\prod_{i=1}^t p_i^{\delta_i}, az (a,b), (b,c), (c,a) számok legkisebb közös többszöröse pedig m=\prod_{i=1}^t p_i^{\mu_i} alakú, ahol

\deltai=min {max {\alphai,\betai},max {\betai,\gammai},max {\gammai,\alphai}},

\mui=max {min {\alphai,\betai},min {\betai,\gammai},min {\gammai,\alphai}}.

Elegendő belátni, hogy minden 1\lei\let esetén \deltai=\mui. Rögzített i mellett szimmetria okokból feltehetjük, hogy \alphai\le\betai\le\gammai. Ekkor pedig valóban

\deltai=min {\betai,\gammai,\gammai}=\betai=max {\alphai,\betai,\alphai}=\mui.


Statisztika:

161 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:116 versenyző.
3 pontot kapott:16 versenyző.
2 pontot kapott:11 versenyző.
1 pontot kapott:11 versenyző.
0 pontot kapott:7 versenyző.

A KöMaL 2012. decemberi matematika feladatai