A B. 4497. feladat (2012. december) |
B. 4497. Definiáljuk az (an) sorozatot a következőképpen: a1=a2=1, a3=2,
Igazoljuk, hogy a sorozat minden eleme egész szám.
(5 pont)
A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.
Útmutatás: Számítsuk ki a sorozat első néhány elemét és keressünk szabályosságot.
Megoldás: A sorozat következő két eleme a4=3 és a5=8. Először n szerinti teljes indukcióval belátjuk, hogy anan+1=n!. Ez valóban így van n=1,2,3 esetén. Ha pedig n4, akkor a rekurzió és az indukciós feltevés szerint
Ezután pedig azt látjuk be n szerinti teljes indukcióval, hogy an olyan egész szám, amely osztója n!-nak. Ez ismét csak így van n=1,2,3 esetén. Ha pedig n4, akkor
ami az indukciós feltevés miatt valóban egész szám, miatt pedig valóban osztója n!-nak.
Statisztika:
90 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 56 versenyző. 4 pontot kapott: 8 versenyző. 3 pontot kapott: 7 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 14 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2012. decemberi matematika feladatai