Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4497. feladat (2012. december)

B. 4497. Definiáljuk az (an) sorozatot a következőképpen: a1=a2=1, a3=2,


a_{n+3}=\frac{a_{n+2}a_{n+1}+n!}{a_n} \quad (n\ge 1).

Igazoljuk, hogy a sorozat minden eleme egész szám.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.


Útmutatás: Számítsuk ki a sorozat első néhány elemét és keressünk szabályosságot.

Megoldás: A sorozat következő két eleme a4=3 és a5=8. Először n szerinti teljes indukcióval belátjuk, hogy anan+1=n!. Ez valóban így van n=1,2,3 esetén. Ha pedig n\ge4, akkor a rekurzió és az indukciós feltevés szerint

a_na_{n+1}=\frac{a_{n-1}a_{n-2}+(n-3)!}{a_{n-3}}\cdot
\frac{a_{n}a_{n-1}+(n-2)!}{a_{n-2}}=

=\frac{\bigl( (n-2)!+(n-3)!\bigr)\cdot
\bigl( (n-1)!+(n-2)!\bigr)}{(n-3)!}=

=\bigl( (n-2)+1\bigr)\cdot (n-2)!\cdot \bigl( (n-1)+1\bigr)=n!.

Ezután pedig azt látjuk be n szerinti teljes indukcióval, hogy an olyan egész szám, amely osztója n!-nak. Ez ismét csak így van n=1,2,3 esetén. Ha pedig n\ge4, akkor

a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-2}+(n-3)!}{a_{n-3}}=
\frac{(n-2)!+(n-3)!}{a_{n-3}}=\frac{(n-1)\cdot(n-3)!}{a_{n-3}},

ami az a_{n-3}\mid (n-3)! indukciós feltevés miatt valóban egész szám, (n-1)\cdot(n-3)!\mid n! miatt pedig valóban osztója n!-nak.


Statisztika:

90 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:56 versenyző.
4 pontot kapott:8 versenyző.
3 pontot kapott:7 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:14 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2012. decemberi matematika feladatai