Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4500. feladat (2012. december)

B. 4500. Létezik-e olyan legalább másodfokú, egész együtthatós f polinom, amelyre teljesül, hogy tetszőleges n pozitív egész szám esetén az n,f(n),f(f(n)),... számok páronként relatív prímek?

(6 pont)

A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.


Útmutatás: Igen. Bizonyítsuk be, hogy f(0)=\pm1 és f(f(0))=\pm1.

Megoldás: Igen. Legyen f(x)=x2-x+1, és definiáljuk az fi sorozatot az f0(x)=x, fi+1(x)=f(fi(x)) rekurzióval. Azt kell belátni, hogy bármely n pozitív egész szám esetén az f_0(n),f_1(n),f_2(n)\ldots számok páronként relatív prímek. Ez ekvivalens azzal, hogy tetszőleges n pozitív egész szám, p prímszám és 0\lei<j egész számok esetén p\mid f_i(n) maga után vonja azt, hogy p\nmid f_j(n). Minthogy pedig fj(n)=fj-i(fi(n)), elegendő a következő állítást igazolni: Ha a p prímszám osztja a k egész számot, akkor bármely i\ge1 esetén f_i(k)\equiv 1\pmod{p}.

Ez az állítás i szerinti indukcióval könnyen igazolható. Az i=1 eset nyilvánvaló, hiszen p\mid k^2-k. Ha pedig valamely i-re már igazolást nyert, akkor (i+1)-re is igaz lesz:

f_{i+1}(k)=f_i(k)^2-f_i(k)+1\equiv 1^2-1+1=1\pmod{p}.


Statisztika:

48 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Balogh Tamás, Baran Zsuzsanna, Barna István, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Homonnay Bálint, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kocsis Laura, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Simon 047 Péter, Szabó 262 Lóránt, Szabó 789 Barnabás, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Venczel Tünde, Williams Kada, Zilahi Tamás.
5 pontot kapott:Ágoston Péter, Juhász Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Bence Kristóf, Nagy Gergely, Zarándy Álmos.
4 pontot kapott:1 versenyző.
3 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.

A KöMaL 2012. decemberi matematika feladatai