A B. 4500. feladat (2012. december) |
B. 4500. Létezik-e olyan legalább másodfokú, egész együtthatós f polinom, amelyre teljesül, hogy tetszőleges n pozitív egész szám esetén az n,f(n),f(f(n)),... számok páronként relatív prímek?
(6 pont)
A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.
Útmutatás: Igen. Bizonyítsuk be, hogy f(0)=1 és f(f(0))=1.
Megoldás: Igen. Legyen f(x)=x2-x+1, és definiáljuk az fi sorozatot az f0(x)=x, fi+1(x)=f(fi(x)) rekurzióval. Azt kell belátni, hogy bármely n pozitív egész szám esetén az számok páronként relatív prímek. Ez ekvivalens azzal, hogy tetszőleges n pozitív egész szám, p prímszám és 0i<j egész számok esetén maga után vonja azt, hogy . Minthogy pedig fj(n)=fj-i(fi(n)), elegendő a következő állítást igazolni: Ha a p prímszám osztja a k egész számot, akkor bármely i1 esetén .
Ez az állítás i szerinti indukcióval könnyen igazolható. Az i=1 eset nyilvánvaló, hiszen . Ha pedig valamely i-re már igazolást nyert, akkor (i+1)-re is igaz lesz:
Statisztika:
48 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Balogh Tamás, Baran Zsuzsanna, Barna István, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Homonnay Bálint, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kocsis Laura, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Simon 047 Péter, Szabó 262 Lóránt, Szabó 789 Barnabás, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Venczel Tünde, Williams Kada, Zilahi Tamás. 5 pontot kapott: Ágoston Péter, Juhász Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Bence Kristóf, Nagy Gergely, Zarándy Álmos. 4 pontot kapott: 1 versenyző. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2012. decemberi matematika feladatai