Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4504. feladat (2013. január)

B. 4504. Egy derékszögű háromszögben az átfogó felezőmerőlegesének a befogók egyenesei közé eső szakasza ugyanolyan hosszú, mint az átfogó. Mekkorák a háromszög szögei?

(4 pont)

A beküldési határidő 2013. február 11-én LEJÁRT.


Megoldási ötlet: Keressünk egyenlő szárú háromszögeket.

 

Megoldás. Legyen a háromszög átfogója AB, derékszögű csúcsa C, az átfogó felezőpontja F, a befogók egyenesei és az átfogó felező merőlegesének metszéspontja P, illetve Q, az ábra szerint. Legyen \alpha=BAC\sphericalangle.

Mivel P az AB felező merőlegesén van, PBA\sphericalangle=\alpha. Az ABC és a QBF derékszögű háromszögek hasonlók, mert B-nél levő szögük közös, ezért FQB\sphericalangle=\alpha. Az ABC és a QPC háromszögek is hasonlók, mert két szögük megegyezik.

Az ABC és a QPC derékszögű háromszögek átfogója egyenlő, ezért a két háromszög egybevágó; többek közt BC=PC. A BPC háromszög tehát egyenlő szárú derékszögű háromszög, és PBC\sphericalangle=CPB\sphericalangle=45^\circ. (Hasonlóan láthatjuk, hogy AC=QC, és az ACQ háromszög is egyenlő szárú derékszögű háromszög.) Ezután az ABC háromszög szögeiből leolvashatjuk, hogy \alpha=22,5o.

A lépéseink megfordíthatóak: ha \alpha=22,5o, akkor PBC\sphericalangle=45^\circ, az ABC és a QPC háromszögek egybevágók, végül AB=PQ.

Az ABC háromszög szögei tehát 90o, 22,5o és 67,5o.


Statisztika:

205 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:129 versenyző.
3 pontot kapott:53 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:14 versenyző.

A KöMaL 2013. januári matematika feladatai