Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4511. feladat (2013. január)

B. 4511. A k kör a P pontban belülről érinti az \ell kört. A P-n átmenő p egyenes ezeket a köröket P-n kívül még rendre a K és L pontokban metszi. A k kör egy P-től különböző U pontjában húzott u érintőjének az \ell körrel való egyik metszéspontja V, a KU és LV egyenesek metszéspontja pedig T. Határozzuk meg a T pont mértani helyét, ha U befutja k-t. (u és \ell mindkét metszéspontja figyelembe veendő; ha U=K, akkor a KU egyenes a k-hoz K-ban húzott érintő. Hasonlóan, ha V=L, akkor LV az \ell-hez L-ben húzott érintő.)

Javasolta: Hraskó András (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2013. február 11-én LEJÁRT.


Megoldási ötlet: Vizsgáljuk azt a P körüli forgatva nyújtást, ami U-t K-ba viszi.

 

1. megoldás.

Irányított szögekkel (azaz modulo 180o) fogunk számolni.

Rajzoljuk meg az u egyenes és \ell mindkét metszéspontját (V1 és V2), és a T pont mindkét lehetséges helyét (T1 és T2).

Először megmutatjuk, hogy LT_1=LT_2=\sqrt{LP\cdot LK}.

Legyen U' a PU egyenes és \ell második, P-től különböző metszéspontja, továbbá u' az \ell kör U'-beli érintője. Mivel \ell a P pontban belülről érinti k-t, a P pont a két kör külső hasonlósági pontja. Legyen n az a P középpontú nagyítás, ami k-t \ell-be viszi. Ekkor tehát n(K)=L, és n(U)=U'. Mivel n(KU)=LU', a KU és LU' egyenesek párhuzamosak. Továbbá, n(u)=u', amiből következik, hogy u és u' is párhuzamosak, tehát U' az \ell kör P-t nem tartalmazó V1V2 ívének felezőpontja.

Mivel az U'V1V2 háromszög egyenlő szárú, az LV1U'V2 húrnégyszögben U'LV_1\sphericalangle = U'V_2V_1\sphericalangle = V_2V_1U'\sphericalangle =
V_2LU'\sphericalangle. A KU és LU' egyenesek párhuzamosságából pedig láthatjuk, hogy V_2T_2U\sphericalangle = V_2LU'\sphericalangle és T_2T_1L\sphericalangle = U'LT_1\sphericalangle.

Mivel T_2T_1L\sphericalangle = V_2T_2U\sphericalangle =
LT_2T_1\sphericalangle, az LT1T2 háromszög egyenlő szárú, LT1=LT2.

Legyen most f az a P körüli forgatva nyújtás, ami U-t K-ba viszi. Mivel \frac{PL}{PK}=\frac{PU'}{PU}, az is igaz, hogy f(U')=L. Az U'UV1 és LKT1 háromszögek hasonlók és azonos körüljárásúak, mert UV_1U'\sphericalangle = V_2V_1U'\sphericalangle =
T_2T_1L'\sphericalangle = T_2K_1L'\sphericalangle, és az \ell körben V_1U'U\sphericalangle = V_1U'P\sphericalangle =
V_1LP\sphericalangle = T_1LK\sphericalangle. Mivel f(U')=L és f(U)=K, az f hasonlóság a két háromszöget egymásba viszi át, tehát az is igaz, hogy f(V1)=T1. Hasonlóan kapjuk az UU'V2 és KLT2 háromszögek hasonlóságából, hogy f(V2)=T2.

Az f forgatva nyújtás a PV1U'V2 húrnégyszöget a PT1LT2 négyszögbe viszi, ezért PT1LT2 is húrnégyszög. Az LKT1 és LT1P háromszögek hasonlók, ezért LT12=LK.LP.

Legyen t az L középpontú, \sqrt{LP\cdot LK} sugarú kör. Mint láttuk, T1 és T2 mindig a t körön van. Azt is láttuk, hogy a PT1LT2 négyszög hasonló a PV1U'V2 nem elfajuló húrnégyszöghöz, ezért T1 és T2 nem lehet rajta a p egyenesen. Jelölje X1 és X2 a p egyenes és t két metszéspontját. Ekkor tehát a T1 és T2 pontok különböznek az X1 és X2 pontoktól.

Most vázoljuk annak bizonyítását, hogy a T pont a t kör bármelyik, X1-től és X2-től különböző pontja lehet; ehhez lényegében ugyanazokat a lépéseket kell megtennünk fordított sorrendben. Vegyük fel tetszőlegesen a T1\neX1,X2 pontot a t körön. Ebből rekonstruáljuk a T2, V1 V2, U' és U pontokat.

Legyen T2 a PLT1 kör és a KT1 egyenes második, T1-től különböző metszéspontja. Mivel LT12=LP.LK, az LKT1 és LT1P háromszögek hasonlók és ellentétes körüljárásúak. Ezért LPT_1\sphericalangle = KT_1L\sphericalangle, és a PT1LT2 körben LT_2T_1\sphericalangle = LPT_1\sphericalangle = KT_1L\sphericalangle
= T_2T_1L\sphericalangle = T_2PL\sphericalangle. Az LT2T1 háromszög egyenlő szárú, LT1=LT2, tehát T2 is a t körön van.

Legyen u'' a PT1LT2 körhöz L-ben húzott érintő, ami párhuzamos T1T2-vel. Messe az \ell kör az u'', LT1 és LT2 egyeneseket másodszor rendre az U', a V1, illetve a V2 pontban, és legyen u=V1V2. Ekkor U'LV_1\sphericalangle=T_2T_1L\sphericalangle és V_2LU'\sphericalangle=LT_2T_1\sphericalangle.

Az LU' egyenes felezi a V2LV1 szöget, amiből az \ell körben láthatjuk, hogy V_2V_1U'\sphericalangle = U'V_2V_1\sphericalangle =
V_2LU'\sphericalangle. Mivel az is igaz, hogy V_1U'P\sphericalangle
= V_1LP\sphericalangle, a PT1LT2 és PV1U'V2 húrnégyszögek hasonlók és azonos körüljárásúak. Legyen most g az a P körüli forgatva nyújtás, amire g(T1)=V1, g(T2)=V2 és g(L)=U'. Az érintő képe érintő, tehát g(u'')=u'.

Végül legyen U=PU'\capV1V2=g(PL)\capP(T1T2)=g(PL\capT1T2)=g(K)=n-1(g(n(K))=n-1(g(L))=n-1(U')). Mivel u=V1V2 és u' párhuzamos, u=n-1(u'). Tehát az u egyenes U-ban érinti a k kört.

A lehetséges T pontok halmaza tehát az L középpontú, \sqrt{LP\cdot LK} sugarú körvonalnak (az L középpontú, a k-t merőlegesen metsző körnek) a p egyenesen kívüli pontjai.

 

2. megoldás (vázlat). Egy másik bizonyítást adunk arra, hogy T az L középpontú, \sqrt{LK\cdot LP} sugarú t körön van.

Legyen k kör második metszéspontja az LU, illetve a PV egyenessel U*, illetve V*. A Pascal-tételt a k körbe írt U*UUKV*P elfajuló hatszögre alkalmazva látjuk, hogy a KU, LV és U*V* egyenesek egy ponton mennek át, vagyis U*V* is átmegy T-n.

Az a P középonttú nagyítás, ami k-t \ell-be viszi, a KV* húrt LV-be viszi, tehát KV* párhuzamos az LV egyenessel. Ezért (ismét irányított szögekkel számolva) LTU^*\sphericalangle =
VTV^*\sphericalangle = KV^*T\sphericalangle = KV^*U^*\sphericalangle; a k körben pedig KV^*U^*\sphericalangle = KUU^*\sphericalangle =
TUL\sphericalangle.

Megmutatjuk, hogy az LTU és LU*T háromszögek hasonlók. Az U* pont az LU félegyenesen van, mert L az \ell körön, az U és U* pedig az \ell belsejében van. Ezért a két háromszög ellentétes irányítású, ULT\sphericalangle = U^*LT\sphericalangle =
-TLU^*\sphericalangle, és, mint láttuk, TUL\sphericalangle =
LTU^*\sphericalangle = -U^*TL\sphericalangle.

A két háromszög hasonlóságából \frac{LT}{LU}=\frac{LU^*}{LT}, vagyis LT2=LU.LU*; az L pontnak a k körre vonatkozó hatványa pedig LU.LU*=LK.LP, tehát

LT2=LU.LU*=LK.LP.

Az Olvasóra bízzuk annak végiggondolását, hogy a T pont nem eshet a p egyenesre, ugyanakkor a t körnek tetszőleges, a p egyenesre nem illeszkedő T pontjából kiindulva, rekonstruálhatjuk az U, V, U* és V* pontokat.


Statisztika:

10 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Maga Balázs, Szabó 928 Attila.
5 pontot kapott:Paulovics Zoltán.
4 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2013. januári matematika feladatai