Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4516. feladat (2013. február)

B. 4516. Az ABC háromszögben \mathop{\rm tg}\alpha=2 és \mathop{\rm tg}\gamma=1, valamint b=12. Az A-val és B-vel szemközti oldalak felezőpontjai rendre Fa és Fb, a magasságok talppontjai rendre Ta és Tb. Igazoljuk, hogy az ABC háromszög súlypontja, magasságpontja és a TaFb és FaTb metszéspontja egy egyenesre esik.

(4 pont)

A beküldési határidő 2013. március 11-én LEJÁRT.


Megoldási ötlet: Alkalmazzuk a Papposz-tételt vagy használjunk koordinátákat.

 

1. megoldás. Legyen a súlypont S, a magasságpont M, a TaFb és FaTb egyenesek metszéspontja X. Az AFATA pontok az AC egyenesen, a BFbTb pontok pedig a BC egyesen vannak. A Papposz-tételt a az (A,FA,TA) és (B,Fb,Tb) ponthármasokra alkalmazva kapjuk, hogy AFb\capBFa=S, ATb\capBTa=M és FaTb\capFbTa=X egy egyenesre esik.

2. megoldás (vázlat). Helyezzük el az ábrát a derékszögű koordináta-rendszerben úgy, hogy Tb legyen az origó, és \overrightarrow{BA} legyen az x-tengely pozitív iránya.

Könnyű ellenőrizni, hogy Tb=(0,0), A=(8,0), C=(-4,0), B=(0,8), Fb=(2,0), Fa=(-2,4), S=\bigg(\frac43,\frac83\bigg). A magasságpont ordinátáját a A-ból induló magasság egyenletéből, vagy a TbM.TbB=TbA.TbC azonosságből is kiszámíthatjuk: M=(0;4).

A BC és AM egyenesek egyenlete 2x-y=-8, illetve x+2y=8, metszéspontjuk T_b=\bigg(-\frac85;\frac{24}5\bigg).

Az TaFb és FaTb egyenesek egyenlete 4x+3y=8, illetve 2x+y=0; a metszéspontjuk X=(-4;8).

Az \overrightarrow{SM} = \bigg(-\frac43; \frac43\bigg) és \overrightarrow{MX} = (-4;4) vektorok párhuzamosak, mert \overrightarrow{MX} = 3\cdot\overrightarrow{SM}. Tehát S, M és X egy egyenesen van.


Statisztika:

103 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:90 versenyző.
3 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2013. februári matematika feladatai