Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4530. feladat (2013. március)

B. 4530. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög AC és BC oldalaira kifelé rajzolt azonos oldalszámú szabályos sokszögek középpontjait összekötő szakasz felezőpontja egybeesik az AC és BC oldalak felezőpontjait összekötő szakaszra a C csúcs irányában emelt ugyanakkora oldalszámú szabályos sokszög középpontjával.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. április 10-én LEJÁRT.


Megoldási ötlet: Használjunk forgatva nyújtásokat vagy komplex számokat.

Megoldásvázlat. Helyezzük el a háromszöget a komplex számsíkon; az egyes pontokat és az őket reprezetáló komplex számokat ugyanazzal a betűvel fogjuk jelölni.

Legyen \(\displaystyle F\) a \(\displaystyle BC\) szakasz felezőpontja, azaz \(\displaystyle F=\frac{B+C}2\). Hasonlóan, legyen \(\displaystyle G=\frac{A+C}2\) az \(\displaystyle AC\) oldal felezőpontja. Legyen az \(\displaystyle AC\), \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle FG\) szakaszokra emelt szabályos sokszögek középpontja rendre \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), illetve \(\displaystyle R\). Azt kell igazolnunk, hogy \(\displaystyle R=\frac{P+Q}2\).

A \(\displaystyle CBP\), \(\displaystyle ACQ\) és \(\displaystyle GFR\) háromszögek hasonlók, ezért

\(\displaystyle \frac{P-C}{B-C} = \frac{Q-A}{C-A} = \frac{R-G}{F-G}; \)

jelöljük ezt a komplex számot \(\displaystyle f\)-fel. Ekkor \(\displaystyle \frac{P-C}{B-C}=f\)-ből \(\displaystyle P\)-t kifejezve:

\(\displaystyle P = f(B-C)+C = fB+(1-f)C. \)

Hasonlóan kapjuk, hogy \(\displaystyle Q=(1-f)A+fC\) és \(\displaystyle R=fF+(1-f)G\). Tehát

\(\displaystyle R = fF+(1-f)G = f\frac{B+C}2+(1-f)\frac{A+C}2 = \frac{\big(fB+(1-f)C\big) + \big((1-f)A+fC\big)}2 = \frac{P+Q}2. \)


Statisztika:

51 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Ágoston Péter, Balogh Tamás, Bereczki Zoltán, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Di Giovanni Márk, Emri Tamás, Fehér Zsombor, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gyulai-Nagy Szuzina, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kátay Tamás, Khayouti Sára, Kovács Balázs Marcell, Kulcsár Ildikó, Kúsz Ágnes, Leipold Péter, Leitereg Miklós, Machó Bónis, Maga Balázs, Makk László, Mócsy Miklós, Nagy-György Pál, Paulovics Zoltán, Petrényi Márk, Sagmeister Ádám, Simkó Irén, Szabó 524 Tímea, Szabó 928 Attila, Szaksz Bence, Szőke Tamás, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Tóth 095 Zsombor, Venczel Tünde, Williams Kada, Zahemszky Péter, Zilahi Tamás.
4 pontot kapott:Győrfi 946 Mónika, Lelkes János, Porupsánszki István, Seress Dániel.
3 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2013. márciusi matematika feladatai