 |
A B. 4545. feladat (2013. május) |
B. 4545. Lehet-e 2013 különböző pozitív egész szám reciprokának összege
a) 2,013;
b) 20,13?
Matlap (Kolozsvár)
(5 pont)
A beküldési határidő 2013. június 10-én LEJÁRT.
Megoldási ötlet: Keressünk rekurzív előállítást, illetve alkalmas becslést.
Megoldás. a) Igen.
A 2,013 számot többféleképpen is feírhatjuk néhány különböző pozitív egész reciporokának összegeként, például
| \(\displaystyle 2.013 = \frac11+\frac12+\frac13+\frac16+\frac1{100}+\frac1{500}+\frac1{1000} \) | (1) |
vagy
| \(\displaystyle 2.013 = \frac11+\frac12+\frac13+\frac16+\frac1{80}+\frac1{2000}. \) | (2) |
A tagok számát eggyel növelhetjük a következőképpen: ha a legkisebb tag \(\displaystyle \frac1a\) (ahol \(\displaystyle a>1\)), akkor ezt elhagyjuk, és a felíráshoz hozzávesszük az \(\displaystyle \frac1{a+1}\), és \(\displaystyle \frac1{a(a+1)}\) tagokat. Mivel \(\displaystyle \frac1{a+1}+\frac1{a(a+1)}=\frac1a\), az összeg nem változik. Továbbá, mivel a legkisebb tagot cseréljük három még kisebbre, a tagok továbbra is különbözők.
Az (1,2) felírások valamelyikéből kiindulva, a fenti lépést ismételgetve eljuthatunk egy 2013 tagú előállításhoz.
b) Nem.
Ha \(\displaystyle a_1<a_2<...<a_{2013}\) egész számok, akkor minden \(\displaystyle 1\le i\le 2013\)-ra \(\displaystyle a_i\ge i\), és így
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}\frac1{a_i} \le \sum_{i=1}^{2013}\frac1i. \)
Ezt az összeget az \(\displaystyle 1/x\) függvény integrálásával becsülhetjük: az \(\displaystyle (i-1,i)\) intervallumban \(\displaystyle \frac1x<\frac1i\), így
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}\frac1i < 1 + \sum_{i=2}^{2013} \int_{i-1}^i \frac{{\rm d}x}{x} = 1 + \int_1^{2013}\frac{{\rm d}x}{x} = 1 + \ln 2013 \approx 7,07 < 20,13. \)
Tehát
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}\frac1{a_i} < 20,13, \)
vagyis az 20,13 előállításához nem elég 2013 pozitív egész szám.
Megjegyzés. A \(\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}\frac1i\) összeget úgy is megbecsülhetjük, hogy a nevezőket 2-hatványokra cseréljük:
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}\frac1i < \frac11 +\left(\frac12+\frac13\right) +\left(\frac14+\dots+\frac17\right) +\left(\frac18+\dots+\frac1{15}\right) +\dots +\left(\frac1{1024}+\dots+\frac1{2047}\right) < \)
\(\displaystyle < 1+2\cdot\frac12+4\cdot\frac14+\dots+1024\cdot\frac1{1024} = 11. \)
Statisztika:
75 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 52 versenyző. 4 pontot kapott: 10 versenyző. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 8 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2013. májusi matematika feladatai