Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4554. feladat (2013. szeptember)

B. 4554. Egy húrnégyszög három szöge \alpha, 2\alpha és 3\alpha. Határozzuk meg a húrnégyszög szögeit.

Javasolta: Lakos Gyula (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Jelöjük a negyedik szög nagyságát \beta-val. Mint tudjuk, a húrnégyszög szemközt szögeinek összege 180o. A \alpha, 2\alpha és 3\alpha szöge közül valamelyik a \beta-val szemben fekszik, ez 3 esetet jelent.

1. eset: A \beta-val szemközti szög \alpha, ekkor tehát 2\alpha és 3\alpha egymással szemben fekszik, így \alpha+\beta=180o és 2\alpha+3\alpha=180o. A második feltételből \alpha=\frac{180^\circ}5=36^\circ, az elsőből pedig \beta=180o-\alpha=144o. A négyszög szögei tehát rendre

2\alpha=72o\alpha=36o, 3\alpha=108o\beta=144o.

2. eset: A \beta-val szemközti szög 2\alpha, ekkor \alpha és 3\alpha egymással szemben fekszik, 2\alpha+\beta=180o és \alpha+3\alpha=180o. A második feltételből \alpha=\frac{180^\circ}4=45^\circ, az elsőből \beta=180o-2\alpha=90o. A négyszög szögei tehát rendre

\alpha=45o, 2\alpha=90o, 3\alpha=135o\beta=90o.

3. eset: A \beta-val szemközti szög 3\alpha, ekkor \alpha és 2\alpha szemben fekszik egymással, 3\alpha+\beta=180o és \alpha+2\alpha=180o. A második feltételből \alpha=\frac{180^\circ}3=60^\circ, az elsőből \beta=180o-3\alpha=0. Mivel \beta>0, ez az eset nem lehetséges.

A négyszög szögei tehát: 72o, 36o, 108o, 144o, vagy 45o, 90o, 135o, 90o.


Statisztika:

390 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:319 versenyző.
2 pontot kapott:55 versenyző.
1 pontot kapott:16 versenyző.

A KöMaL 2013. szeptemberi matematika feladatai