A B. 4554. feladat (2013. szeptember)

B. 4554. Egy húrnégyszög három szöge $\alpha$ , 2 $\alpha$ és 3 $\alpha$ . Határozzuk meg a húrnégyszög szögeit.

Javasolta: Lakos Gyula (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöjük a negyedik szög nagyságát $\beta$ -val. Mint tudjuk, a húrnégyszög szemközt szögeinek összege 180^o. A $\alpha$ , 2 $\alpha$ és 3 $\alpha$ szöge közül valamelyik a $\beta$ -val szemben fekszik, ez 3 esetet jelent.

1. eset: A $\beta$ -val szemközti szög $\alpha$ , ekkor tehát 2 $\alpha$ és 3 $\alpha$ egymással szemben fekszik, így $\alpha$ + $\beta$ =180^o és 2 $\alpha$ +3 $\alpha$ =180^o. A második feltételből $\alpha=\frac{180^\circ}5=36^\circ$ , az elsőből pedig $\beta$ =180^o- $\alpha$ =144^o. A négyszög szögei tehát rendre

2 $\alpha$ =72^o, $\alpha$ =36^o, 3 $\alpha$ =108^o, $\beta$ =144^o.

2. eset: A $\beta$ -val szemközti szög 2 $\alpha$ , ekkor $\alpha$ és 3 $\alpha$ egymással szemben fekszik, 2 $\alpha$ + $\beta$ =180^o és $\alpha$ +3 $\alpha$ =180^o. A második feltételből $\alpha=\frac{180^\circ}4=45^\circ$ , az elsőből $\beta$ =180^o-2 $\alpha$ =90^o. A négyszög szögei tehát rendre

$\alpha$ =45^o, 2 $\alpha$ =90^o, 3 $\alpha$ =135^o, $\beta$ =90^o.

3. eset: A $\beta$ -val szemközti szög 3 $\alpha$ , ekkor $\alpha$ és 2 $\alpha$ szemben fekszik egymással, 3 $\alpha$ + $\beta$ =180^o és $\alpha$ +2 $\alpha$ =180^o. A második feltételből $\alpha=\frac{180^\circ}3=60^\circ$ , az elsőből $\beta$ =180^o-3 $\alpha$ =0. Mivel $\beta$ >0, ez az eset nem lehetséges.

A négyszög szögei tehát: 72^o, 36^o, 108^o, 144^o, vagy 45^o, 90^o, 135^o, 90^o.

Statisztika:

390 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: 319 versenyző.

2 pontot kapott: 55 versenyző.

1 pontot kapott: 16 versenyző.

A KöMaL 2013. szeptemberi matematika feladatai

390 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	319 versenyző.
2 pontot kapott:	55 versenyző.
1 pontot kapott:	16 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?