![]() |
A B. 4554. feladat (2013. szeptember) |
B. 4554. Egy húrnégyszög három szöge , 2
és 3
. Határozzuk meg a húrnégyszög szögeit.
Javasolta: Lakos Gyula (Budapest)
(3 pont)
A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöjük a negyedik szög nagyságát -val. Mint tudjuk, a húrnégyszög szemközt szögeinek összege 180o. A
, 2
és 3
szöge közül valamelyik a
-val szemben fekszik, ez 3 esetet jelent.
1. eset: A -val szemközti szög
, ekkor tehát 2
és 3
egymással szemben fekszik, így
+
=180o és 2
+3
=180o. A második feltételből
, az elsőből pedig
=180o-
=144o. A négyszög szögei tehát rendre
2=72o,
=36o, 3
=108o,
=144o.
2. eset: A -val szemközti szög 2
, ekkor
és 3
egymással szemben fekszik, 2
+
=180o és
+3
=180o. A második feltételből
, az elsőből
=180o-2
=90o. A négyszög szögei tehát rendre
=45o, 2
=90o, 3
=135o,
=90o.
3. eset: A -val szemközti szög 3
, ekkor
és 2
szemben fekszik egymással, 3
+
=180o és
+2
=180o. A második feltételből
, az elsőből
=180o-3
=0. Mivel
>0, ez az eset nem lehetséges.
A négyszög szögei tehát: 72o, 36o, 108o, 144o, vagy 45o, 90o, 135o, 90o.
Statisztika:
390 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 319 versenyző. 2 pontot kapott: 55 versenyző. 1 pontot kapott: 16 versenyző.
A KöMaL 2013. szeptemberi matematika feladatai