Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4574. feladat (2013. november)

B. 4574. Oldjuk meg az

x+y+z=1,

ax+by+cz=d,

a2x+b2y+c2z=d2

egyenletrendszert, ahol az a, b, c, d különböző valós paraméterek.

(Matlap, Kolozsvár, 2013)

(4 pont)

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.


Végeredmény: Az egyenletrendszer akkor oldható meg egyértelműen, ha az a,b,c paraméterek különbözőek. A megoldás:


x = \frac{(d-b)(d-c)}{(a-b)(a-c)}, \quad
y = \frac{(d-a)(d-c)}{(b-a)(b-c)}, \quad
z = \frac{(d-a)(d-b)}{(c-a)(c-b)}.

Megjegyzés. A megoldást a Cramer-szabállyal felírva, mindhárom ismeretlen két. úgynevezett Vandermonde-determináns hányadosa lesz. pl,


x = \frac{
\left|\matrix{1&1&1\cr d&b&c\cr d^2&b^2&c^2}\right|}{
\left|\matrix{1&1&1\cr a&b&c\cr a^2&b^2&c^2}\right|} =
\frac{(b-d)(c-d)(c-b)}{(b-a)(c-a)(c-b)}.


Statisztika:

121 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:94 versenyző.
3 pontot kapott:12 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:6 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai