Problem B. 4581. (November 2013)

B. 4581. Given two perpendicular skew lines and an acute angle $\alpha$ , determine the number of lines that intersect both given lines and encloses an angle of $\alpha$ with each.

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Legyen a két kitérő egyenes a és b, a keresett harmadik egyenes c; az egyenesek egy-egy egységnyi hosszúságú irányvektora a, b, illetve c. A feltétel szerint a és c szöge, illetve b és c szöge is $\alpha$ vagy $\pi$ - $\alpha$ . Ábrázoljuk a vektorokat az egységgömbön. Azok a vektorok, amiknek az a vektorral bezárt szöge $\alpha$ vagy $\pi$ - $\alpha$ , egy a és egy -a középpontú, $\alpha$ sugarú körön vannak. Hasonlóan, azok a vektorok, amiknek a b vektorral bezárt szöge $\alpha$ vagy $\pi$ - $\alpha$ , egy b és egy -b középpontú, $\alpha$ sugarú körön vannak. A c vektor e két halmaz metszetében van.

A gömbön az a és a b távolsága $\pi$ /2. Ha tehát $\alpha$ < $\pi$ /4, akkor a két halmaznak nincs közös pontja, tehát nem létezik a kiívánt c egyenes sem.

Ha $\alpha$ = $\pi$ /4, akkor a két halmaznak 4 közös pontja van, és az a, b és c vektorok egy síkba esnek. Ez viszont nem lehetséges, mert ekkor az a,b,c egyeneseknek is egy síkba kellene esnie.

Ha $\pi$ /4< $\alpha$ < $\pi$ /2, akkor a két halmaznak 8 közös pontja van, és az a, b és c vektorok lineárisan függetlenek. Ilyenkor az az a és b egyenesek és a c vektor egyértelműen meghatározzák a c egyenes helyzetét: az a egyenes és a c vektor egyértelműen meghatározza az ac síkot; a b egyenes és a c vektor egyértelműen meghatározza a bc síkot; a két sík különböző, mert a és b kitérők; végül c a két sík metszésvonala. Mivel az ellentétes irányú c irányvektorok ugyanazt a c egyenest határtozzák meg, összesen 4 lehetséges c egyenes létezik.

A lehetséges c egyenesek száma tehát $\alpha$ $\le$ $\pi$ /4 esetén 0, $\alpha$ > $\pi$ /4 esetén 4.

Statistics:

65 students sent a solution.

5 points: Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Di Giovanni Márk, Forrás Bence, Gáspár Attila, Gyulai-Nagy Szuzina, Jenei Dániel Gábor, Kabos Eszter, Lajkó Kálmán, Leipold Péter, Leitereg Miklós, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Nemes György, Sal Kristóf, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Williams Kada.

4 points: Balogh Tamás, Csépai András, Fonyó Viktória, Kátay Tamás, Maga Balázs, Petrényi Márk, Sándor Krisztián, Seress Dániel, Szabó 789 Barnabás.

3 points: 11 students.

2 points: 8 students.

1 point: 9 students.

0 point: 10 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013

65 students sent a solution.
5 points:	Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Di Giovanni Márk, Forrás Bence, Gáspár Attila, Gyulai-Nagy Szuzina, Jenei Dániel Gábor, Kabos Eszter, Lajkó Kálmán, Leipold Péter, Leitereg Miklós, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Nemes György, Sal Kristóf, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Williams Kada.
4 points:	Balogh Tamás, Csépai András, Fonyó Viktória, Kátay Tamás, Maga Balázs, Petrényi Márk, Sándor Krisztián, Seress Dániel, Szabó 789 Barnabás.
3 points:	11 students.
2 points:	8 students.
1 point:	9 students.
0 point:	10 students.

Already signed up?
New to KöMaL?