Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4585. feladat (2013. december)

B. 4585. Bizonyítsuk be, hogy ha x1\gex2\gex3\gex4\gex5\ge0, akkor


{(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)}^2\ge \frac{25}{2} \big(x_4^2+x_5^2\big).

Mi az egyenlőség feltétele?

Javasolta: Erben Péter és Pataki János (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2014. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Az x1\gex2\gex3\gex4\gex5\ge0 feltételből látjuk, hogy

(x1+x2+x3+x4+x5)2\ge(4x4+x5)2,(1)

és egyenlőség akkor van, ha x1=x2=x3=x4.

Elég tehát azt igazolnunk, hogy


(4x_4+x_5)^2 \ge \frac{25}{2} \big(x_4^2+x_5^2\big). (2)

Egy oldalra rendezve és szorzattá alakítva,


(4x_4+x_5)^2 -\frac{25}{2} \big(x_4^2+x_5^2\big) =
\frac12(x_4-x_5)(7x_4+23x_5) \ge0.

Mivel mindkét tényező nemnegatív, ez biztosan teljesül. Az egyenlőség feltétele, hogy valamelyik tényező 0 legyen. Az (x4-x5) tényező akkor tűnik el, ha x4=x5. A (7x4+23x5) tényező pedig, mivel a tagok nemnegatívak, csak úgy lehet 0, ha x4=x5=0. A (2)-ben az egyenlőség feltétele tehát az, hogy x4=x5.

Az (1) és a (2) együtt kiadja az állítást. Egyenlőség akkor van, ha x1=x2=x3=x4=x5.


Statisztika:

175 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:93 versenyző.
2 pontot kapott:40 versenyző.
1 pontot kapott:32 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.
Nem versenyszerű:5 dolgozat.

A KöMaL 2013. decemberi matematika feladatai