Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4589. feladat (2013. december)

B. 4589. Létezik-e olyan n természetes szám, amelyre az 1^{10},2^{10},\ldots, n^{10} számok 10 csoportba oszthatók úgy, hogy mindegyik csoportban a tagok összege ugyanannyi?

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Megmutatjuk, hogy az n=1011-1 szám ilyen, és megadjuk az 110,210,...,n10 számok egy megfelelő csoportosítását is.

Tetszőleges k nemnegatív egészre jelölje S(k) a k szám számjegyösszegét tízes számrendszerben, és legyen R(k) az S(k) osztási maradéka 10-szel osztva. Például S(987)=24 és R(987)=4. A csoportokat 0-tól 9-ig számozzuk meg, és tetszőleges 1\lek\len-re a k10 számot tegyük az R(k)-adik csoportba. Azt akarjuk igazolni, hogy tetszőleges 0\ler\le9 esetén az r-edik csoportban a számok összege \frac1{10}\sum_{k=1}^n k^{10}. A 0-dik csoportban helyezzük el 010-t is; ez nem változtatja meg az összegeket.

A 0\lek\le1011-1 számot x0+10x1+102x2+...+1010x10 alakban fogjuk felírni, ahol x0,...,x10\in{0,1,...,9} a k számjegyei 10-es számrendszerben. A zárójeleket felbontva,


(x_0+10x_1+10^2x_2+\ldots+10^{10}x_{10})^{10} =
\sum_{d_0+d_1+\ldots+d_{10}=10} C_{d_0d_1\ldots d_{10}}
x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}}

alkalmas C_{d_0d_1\ldots d_{10}} konstansokkal; az esetleg fellépő 00 alakú hatványokat 1-nek definiáljuk.

Az r-edik csoportban a számok összege


\sum_{R(k)=r} k^{10}
= \sum_{x_0+\ldots+x_{10}\,(10)} 
\left( \sum_{d_0+\ldots+d_{10}=10} C_{d_0d_1\ldots d_{10}}
x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}} \right) =


= \sum_{d_0+\ldots+d_{10}=10} C_{d_0d_1\ldots d_{10}}
\left( \sum_{x_0+\ldots+x_{10}\,(10)} 
x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}} \right).   (1)

Tekintsük az utolsó zárójelben áll összeget egy tetszőleges d0,d1,...,d10 kitevősorozatra. Mivel d0+...+d10=0, a kitevők között legalább egyszer szerepel a 0. Legyen di az első ilyen. Ha az x_0,\ldots,x_{i-1} és x_{i+1},\ldots,x_{10} értékét ismerjük, akkor ezek egyértelműen meghatározzák az xi számjegyet, ugyanakkor xi nem befolyásolja x0d0x1d1...x10d10 értékét. Azt is megtehetjük tehát, hogy az összes számjegysorozatra összegzünk (ezáltal az összeg 10-szeresét kapjuk), és osztunk 10-zel:


\sum_{x_0+\ldots+x_{10}\,(10)} x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}}  =
\frac1{10} \sum_{x_0=0}^9\sum_{x_1=0}^9\ldots\sum_{x_{10}=0}^9
x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}}.

Ezt beírva (1)-be, majd visszacserélve a szummákat,


\sum_{R(k)=r} k^{10}
= \sum_{d_0+\ldots+d_{10}=10} C_{d_0d_1\ldots d_{10}}
\left(\frac1{10} \sum_{x_0=0}^9\ldots\sum_{x_{10}=0}^9
x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}} \right) =


= \frac1{10} \sum_{x_0=0}^9\sum_{x_1=0}^9\ldots\sum_{x_{10}=0}^9
\left( \sum_{d_0+\ldots+d_{10}=10} C_{d_0d_1\ldots d_{10}}
x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}} \right) =
\frac1{10}\sum_{k=0}^{n-1} k^{10}.

A számok összege tehát valóban \frac1{10}\sum_{k=1}^n k^{10} mindegyik csoportban.

Megjegyzés. Az (R(0),R(1),R(2),...) sorozat az úgynevezett (Prouhet-)Thue-Morse sorozat egy általánosítása.


Statisztika:

10 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Gyulai-Nagy Szuzina, Herczeg József, Maga Balázs, Williams Kada.
0 pontot kapott:5 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2013. decemberi matematika feladatai