Problem B. 4591. (December 2013)
B. 4591. Let be an irrational number. For every positive integer q, let
, that is, the distance from the closest fraction that can be represented with a denominator of q (not necessarily cancelled to lowest terms). Show that there exists a k such that
.
Suggested by P. Maga, Budapest
(6 pont)
Deadline expired on January 10, 2014.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldásvázlat. A megoldás folyamán -szel fogjuk jelölni az x távolságát a legközelebbi egész számtól. Ekkor tehát
. Könnyen ellenőrizhető, hogy tetszőleges x,y számokra és q pozitív egészre teljesülnek a következők:
A feladat állítása a következő lemmából fog következni:
Lemma. Bármely q pozitív egészre
Bizonyítás.
A Lemma alapján, k=2n esetén
Megjegyezzük, hogy nem egész szám, így
. Ismert, hogy a
harmonikus összeg nem korlátos, így van olyan n, mire
. Erre az n-re és k=2n-re
Megjegyzés. A fenti megoldás minden olyan -ra működik, ami nem egész.
Statistics:
8 students sent a solution. 6 points: Ágoston Péter, Fekete Panna, Maga Balázs, Williams Kada. 5 points: Kúsz Ágnes, Mócsy Miklós. 4 points: 1 student. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013