Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4605. feladat (2014. február)

B. 4605. Tegyük fel, hogy \alpha és \beta olyan, egymástól különböző valós számok, amelyek közül legalább az egyik nem egész. Igaz-e, hogy biztosan létezik olyan n pozitív egész szám, amelyre \alphan-\betan nem egész?

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Megmutatjuk, hogy biztosan létezik ilyen \(\displaystyle n\). Ha sem \(\displaystyle n=1\), sem \(\displaystyle n=2\) nem megfelelő, akkor \(\displaystyle \alpha-\beta\ne 0\) és \(\displaystyle \alpha^2-\beta^2\) egész számok. Így \(\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\alpha^2-\beta^2}{\alpha-\beta}\) racionális szám, és ezért \(\displaystyle \alpha=\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\) és \(\displaystyle \beta=\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2}\) is racionálisak. Hozzuk az \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \beta\) racionális számokat közös nevezőre: \(\displaystyle \alpha=\frac{a}{c},\beta=\frac{b}{c}\), ahol feltehető, hogy \(\displaystyle (a,b,c)=1\). Az \(\displaystyle \alpha^n-\beta^n\) szám pontosan akkor egész, ha \(\displaystyle c^n\) osztja az

\(\displaystyle a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}) \)

számot. Az \(\displaystyle n=1\) esetből \(\displaystyle c|a-b\) adódik, vagyis \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) azonos maradékot adnak \(\displaystyle c\)-vel osztva. Mivel \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \beta\) közül legalább az egyik nem egész, ezért \(\displaystyle |c|\ne 1\), vagyis a \(\displaystyle c\) egész számnak létezik \(\displaystyle p\) prímosztója. Mivel \(\displaystyle c|a-b\), ezért \(\displaystyle a\equiv b\ (p)\), és így \(\displaystyle a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}\equiv na^{n-1}\ (p)\). Mivel \(\displaystyle (a,b,c)=1\), ezért \(\displaystyle p\nmid a\), hiszen akkor \(\displaystyle p|b\)-nek is teljesülnie kellene, és \(\displaystyle p|(a,b,c)\) adódna. Így, ha az \(\displaystyle n\) szám nem osztható \(\displaystyle p\)-vel, akkor abból, hogy \(\displaystyle c^n|a^n-b^n\) következik, hogy \(\displaystyle p^n|a-b\)-nek is teljesülnie kell, hiszen az \(\displaystyle a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}\) összegnek nem osztója \(\displaystyle p\). Elég tehát mutatni egy olyan \(\displaystyle n\) pozitív egész számot, amelyre \(\displaystyle p\nmid n\) és \(\displaystyle p^n\nmid a-b\). Mivel \(\displaystyle a-b\) egy 0-tól különböző egész szám, ezért ilyen \(\displaystyle n\) nyilvánvalóan létezik: például \(\displaystyle n=p|a-b|+1\) megfelelő, vagyis biztosan létezik olyan \(\displaystyle n\), amelyre \(\displaystyle \alpha^n-\beta^n\) nem egész.


Statisztika:

50 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Ágoston Péter, Baran Zsuzsanna, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Forrás Bence, Gyulai-Nagy Szuzina, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Maga Balázs, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Williams Kada, Zsók Bianka.
4 pontot kapott:Cseh Kristóf, Fekete Panna, Kabos Eszter, Mócsy Miklós.
3 pontot kapott:4 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:11 versenyző.
0 pontot kapott:10 versenyző.

A KöMaL 2014. februári matematika feladatai