Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4609. feladat (2014. február)

B. 4609. Melyik az a legkisebb pozitív c szám, amelyre igaz, hogy tetszőleges a_1,a_2,\ldots,a_n valós számok közül kiválasztható néhány, amelyek összegének a hozzá legközelebbi egésztől vett távolsága legfeljebb c?

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Megmutatjuk, hogy a legkisebb ilyen szám \(\displaystyle c=\frac{1}{n+1}\). Először is, az \(\displaystyle a_1=a_2=\dots=a_n=\frac{1}{n+1}\) esetben a lehetséges összegek \(\displaystyle \frac{1}{n+1},\frac{2}{n+1},\dots,\frac{n}{n+1}\), amiből látható, hogy \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\)-nél kisebb \(\displaystyle c\)-re nem teljesül az állítás. Most pedig igazolni fogjuk, hogy \(\displaystyle c=\frac{1}{n+1}\)-re már igen. Legyenek tehát \(\displaystyle a_1,a_2,\dots,a_n\) tetszőleges valós számok, és tekintsük az \(\displaystyle s_i=a_1+a_2+\dots+a_i\) összegeket (\(\displaystyle 1\leq i\leq n\)). Ha ezek között van olyan, amelynek törtrésze legfeljebb \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\), vagy legalább \(\displaystyle \frac{n}{n+1}\), akkor készen is vagyunk, hiszen egy ilyen összegnek a legközelebbi egésztől vett eltérése legfeljebb \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\). Ha pedig nincs köztük ilyen, akkor a skatulya-elv miatt a \(\displaystyle \left[\frac{k}{n+1},\frac{k+1}{n+1} \right]\) intervallumok (\(\displaystyle 1\leq k\leq n-1\)) közül legalább az egyikbe két összeg is esik, mondjuk \(\displaystyle s_i\) és \(\displaystyle s_j\) (ahol \(\displaystyle i<j\)). Ekkor viszont az \(\displaystyle s_j-s_i=a_{i+1}+\dots +a_j\) összeg legközelebbi egésztől vett távolsága legfeljebb \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\). Ezzel igazoltuk a feladat állítását.


Statisztika:

34 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Ágoston Péter, Badacsonyi István András, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Gyulai-Nagy Szuzina, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Szőke Tamás, Várkonyi Dorka, Williams Kada.
3 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:7 versenyző.

A KöMaL 2014. februári matematika feladatai