Problem B. 4626. (April 2014)
B. 4626. Prove that \(\displaystyle {(1+a)}^4 {(1+b)}^4 \ge 64ab {(a+b)}^2\) for all \(\displaystyle a,b\ge 0\).
(6 pont)
Deadline expired on May 12, 2014.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldásvázlat. Írjuk fel a számtani és a mértani közepek közötti egyenlőtlenséget az \(\displaystyle 1,ab, \frac{a+b}2, \frac{a+b}2\) számokra:
| \(\displaystyle \frac{1+ab+\frac{a+b}2+\frac{a+b}2}4 \ge \root{4}\of{1\cdot ab\cdot \frac{a+b}2\cdot \frac{a+b}2} \) | (1) |
Ebből rendezés és negyedik hatványra emelés után kapjuk az állítást:
\(\displaystyle (1+a)(1+b)=1+a+b+ab \ge 2\sqrt2 \root4\of{a} \root4\of{b} \sqrt{a+b} \)
\(\displaystyle (1+a)^4 (1+b)^4 \ge 64ab (a+b)^2. \)
Egyenlőség akkor van, ha az \(\displaystyle 1,ab, \frac{a+b}2\) számok, amelyeknek a közepeit (1)-ben felírtuk, egyenlők, azaz \(\displaystyle 1=ab=\frac{a+b}2\). Ilyenkor az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) számok számtani és mértani közepe is 1, ami csak úgy lehet, ha \(\displaystyle a=b=1\).
Statistics:
52 students sent a solution. 6 points: Andi Gabriel Brojbeanu, Andó Angelika, Balogh Menyhért, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Fekete Panna, Forrás Bence, Gál Hanna, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Hansel Soma, Horeftos Leon, Hraboczki Attila Márton, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Maga Balázs, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Porupsánszki István, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Szebellédi Márton, Szegi Bogát, Tompa Tamás Lajos, Williams Kada. 5 points: Bereczki Ádám, Bodolai Előd, Dinev Georgi, Győrfi-Bátori András, Kocsis Júlia, Lengyel Ádám, Maglódi Ádám, Mócsy Miklós, Öreg Botond, Páli Petra, Sal Kristóf, Schefler Barna, Vu Mai Phuong. 3 points: 1 student. 0 point: 10 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2014