A B. 4663. feladat (2014. november)

B. 4663. Határozzuk meg a

\(\displaystyle 2x^3 - y^3 = 5 \)

egyenlet egész megoldásait.

Javasolta: Károlyi Gyula (Budajenő)

(4 pont)

A beküldési határidő 2014. december 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Alkalmasan választott pozitív egész szám szerinti maradékokat vizsgáljuk.

Megoldás. Vizsgáljuk az egyenlet bal oldalán lévő kifejezés 9-es maradékát. Először megmutatjuk, hogy a köbszámok 9-es maradéka 0, 1 vagy 8 lehet. Legyen ugyanis \(\displaystyle a=9k+m\), ahol \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle m\) egészek, és \(\displaystyle 0 \le m \le 8\). Ekkor

\(\displaystyle a^3= {(9k+m)}^3 = 9^3k^3 + 3\cdot 9^2k^2m + 3\cdot 9km^2 + m^3 = 9N + m^3, \)

ahol \(\displaystyle N\) egész, és \(\displaystyle m^3\) értékei:

\(\displaystyle 0^3=0, \quad 1^3=1, \quad 2^3=8, \quad 3^3=27=9\cdot 3,\)

\(\displaystyle 4^3=64 = 9\cdot 7 +1,\quad 5^3=125=9\cdot 13 +8,\quad 6^3=9\cdot 24,\)

\(\displaystyle 7^3=343=9\cdot 38 +1,\quad 8^3=512= 9\cdot 56 +8.\)

Ennek alapján a bal oldalon a lehetséges 9-es maradékok a 0, 1, 2, 3, 6, 7 vagy 8. Tehát a két oldal 9-es maradéka semmilyen \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) egész számra sem egyezik meg, ezért az egyenletnek nincs egész megoldása.

Statisztika:

148 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	120 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2014. novemberi matematika feladatai