A B. 4669. feladat (2014. december)

B. 4669. Közismert, hogy a 777 fejű sárkányoknak minden nyakán 9 vagy 13 fej ül. Két sárkány egyforma, ha ugyanannyi 9 fejű nyakuk van. Hány különböző 777 fejű sárkány van?

Javasolta: Károlyi Gyula (Budajenő)

(3 pont)

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a 9-fejű nyakak száma \(\displaystyle a\), a 13-fejű nyakak száma \(\displaystyle b\).

Ekkor teljesül a következő összefüggés: \(\displaystyle 9a+13b=777\), amiből

\(\displaystyle a=\frac{777-13b}{9}=86-b+\frac{3-4b}{9}. \)

Az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) értéke akkor megfelelő, ha mindkét oldal egész szám és pozitív; ebből egyelőre csak az előbbi követelménnyel foglalkozunk. Ez pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle b\) is és \(\displaystyle \frac{3-4b}{9}=x\) is egész, azaz \(\displaystyle 4b+9x=3\), vagyis \(\displaystyle b=\frac{3-9x}{4}= -2x+\frac{3-x}{4}\). Ez akkor és csak akkor egész, ha tetszőleges \(\displaystyle y\) egésszel \(\displaystyle 3-x=4y\), vagyis \(\displaystyle x=3-4y\). Ez azt jelenti, hogy

\(\displaystyle b=-2(3-4y)+y=-6+9y \quad\text{és}\quad a=86-(-6+9y)+ (3-4y)=95-13y. \)

Szükséges még, hogy \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) egyike se legyen negatív: \(\displaystyle a=95-13y\ge0\), azaz \(\displaystyle y\le 7\), valamint \(\displaystyle b=-6+9y\ge0\), vagyis \(\displaystyle y\ge1\). Így \(\displaystyle y=1,2,3,4,5,6,7\) lehet, tehát 7 különböző értékpár adódott \(\displaystyle (a;b)\)-re, ennyi különböző 777 fejű sárkány van.

Statisztika:

216 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	117 versenyző.
2 pontot kapott:	51 versenyző.
1 pontot kapott:	46 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai