 |
A B. 4671. feladat (2014. december) |
B. 4671. Legyenek \(\displaystyle AB_1B_2\ldots B_6\) és \(\displaystyle AC_1C_2\ldots C_6\) azonos körüljárású szabályos hétszögek. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle B_1C_1, B_2C_2, \dots, B_6C_6\) egyenesek egy ponton mennek át.
Javasolta: Holló Gábor (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.
Megoldási ötlet: Milyen hasonlósági transzformáció viszi át az egyik hétszöget a másikba?
Megoldás. Legyen az \(\displaystyle AB_1B_2\ldots B_6\) hétszög körülírt köre \(\displaystyle k_B\), az \(\displaystyle AC_1C_2\ldots C_6\) hétszög körülírt köre pedig \(\displaystyle k_C\). A \(\displaystyle k_B\) és \(\displaystyle k_C\) körök átmennek \(\displaystyle A\)-n. Jelölje a két kör \(\displaystyle A\)-tól különböző metszéspontját \(\displaystyle M\) (ha a két kör \(\displaystyle A\)-ban érinti egymást, akkor \(\displaystyle M\equiv A\)). Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle i=1,2,\ldots,6\) esetén a \(\displaystyle B_iC_i\) egyenesek mindegyike átmegy \(\displaystyle M\)-en.
Legyen \(\displaystyle \alpha =\frac{180^{\circ}}{7}\). Ez a szabályos hétszögek oldalaihoz tartozó kerületi szög mind a \(\displaystyle k_B\), mind pedig a \(\displaystyle k_C\) körben. Az \(\displaystyle \alpha\) szög segítségével meg fogjuk határozni az \(\displaystyle AMB_i\) és \(\displaystyle AMC_i\) szögeket. Két fő esetet különböztetünk meg, annak megfelelően, hogy a \(\displaystyle B_i\) és \(\displaystyle C_i\) csúcsok az \(\displaystyle AM\) egyenes (ha a két kör \(\displaystyle A\)-ban érinti egymást, akkor az \(\displaystyle A\)-beli közös érintőjük) által meghatározott két félsík közül ugyanabba, vagy különbözőekbe esnek.
Feltehetjük, hogy a hétszögek pozitív körüljárásúak. Nevezzük az \(\displaystyle AM\) egyenes által meghatározott félsíkok közül pozitívnak azt, amelyik a \(\displaystyle k_B\) és \(\displaystyle k_C\) körök \(\displaystyle A\)-ból \(\displaystyle M\)-be menő ívei közül a pozitív irányút tartalmazza, negatív félsíknak pedig a másikat, s jelölje e nyílt félsíkokat \(\displaystyle \mathcal{F}_+\) és \(\displaystyle \mathcal{F}_-\) (1. ábra). Ekkor a kerületi szögek tételét alkalmazva kapjuk, hogy
\(\displaystyle AMB_i\sphericalangle = \begin{cases} AMB_1\sphericalangle +B_1MB_2\sphericalangle +\ldots +B_{i-1}MB_i\sphericalangle = i\cdot \alpha, & \text{ha } B_i \in \mathcal{F}_+, \\ {AMB_6\sphericalangle +B_6MB_5\sphericalangle +\ldots +B_{i+1}MB_i\sphericalangle = (7-i)\cdot \alpha,} & \text{ha } B_i \in \mathcal{F}_-, \end{cases} \)
s ugyanígy
\(\displaystyle AMC_i\sphericalangle = \begin{cases} i\cdot \alpha, & \text{ha } C_i \in \mathcal{F}_+, \\ (7-i)\cdot \alpha, & \text{ha } C_i \in \mathcal{F}_-. \end{cases} \)
1. ábra
Ezek után már egyszerűen beláthatjuk, hogy az \(\displaystyle M\), \(\displaystyle B_i\) és \(\displaystyle C_i\) pontok minden \(\displaystyle i=1,2,\ldots,6\) esetén egy egyenesbe esnek. Ha \(\displaystyle M\equiv B_i\) vagy \(\displaystyle M\equiv C_i\), akkor ez nyilvánvaló. Ha \(\displaystyle B_i\) és \(\displaystyle C_i\) közül mindkettő az \(\displaystyle \mathcal{F}_+\) vagy az \(\displaystyle \mathcal{F}_-\) félsíkba esik, akkor \(\displaystyle AMB_i\sphericalangle =AMC_i\sphericalangle\), és mivel \(\displaystyle B_i\) és \(\displaystyle C_i\) az \(\displaystyle AM\) egyenesnek ugyanazon az oldalán van, ezért ebből következik, hogy \(\displaystyle B_i\) és \(\displaystyle C_i\) ugyanazon az \(\displaystyle M\)-ből kiinduló félegyenesen van (2. ábra). Ha viszont \(\displaystyle B_i\) és \(\displaystyle C_i\) különböző félsíkokban vannak, akkor
\(\displaystyle AMB_i\sphericalangle +AMC_i\sphericalangle =i\cdot \alpha +(7-i)\cdot \alpha =180^{\circ }, \)
s mivel \(\displaystyle B_i\) és \(\displaystyle C_i\) az \(\displaystyle AM\) egyenesnek különböző oldalain vannak, ezért ebből következik, hogy \(\displaystyle B_i\), \(\displaystyle C_i\) és \(\displaystyle M\) kollineárisak (3. ábra).
2. ábra
3. ábra
Az előző bekezdésben leírtak \(\displaystyle M\equiv A\) esetén is igazak, csak azt kell meggondolnunk, hogy ekkor \(\displaystyle AMB_i\sphericalangle\) és \(\displaystyle AMC_i\sphericalangle\) a megfelelő érintőszárú kerületi szögeket jelöli (4. és 5. ábra).
4. ábra
5. ábra
Ezzel a feladat állítását beláttuk.
Kocsis Júlia (Dunakeszi, Radnóti M. Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján
Megjegyzés. A megoldás során nem használtuk ki, hogy a sokszögek oldalszáma 7. Ugyanezzel a gondolatmenettel belátható az állítás tetszőleges \(\displaystyle n\)-szögekre is. Sőt tulajdonképpen azt bizonyítottuk be, hogy ha tekintjük az egymást az \(\displaystyle A\) pontban metsző \(\displaystyle k_B\) és \(\displaystyle k_C\) körvonalak azon \(\displaystyle B_{\varphi}\) és \(\displaystyle C_{\varphi}\) pontjait, melyekre az ugyanolyan irányítású \(\displaystyle AB_{\varphi}\) és \(\displaystyle AC_{\varphi}\) ívekhez tartozó középponti szögek megegyeznek, akkor a \(\displaystyle B_{\varphi}C_{\varphi}\) egyenesek átmennek \(\displaystyle k_B\) és \(\displaystyle k_C\) másik (esetleg \(\displaystyle A\)-val egybeeső) metszéspontján.
Statisztika:
A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai