 |
A B. 4671. feladat (2014. december) |
B. 4671. Legyenek \(\displaystyle AB_1B_2\ldots B_6\) és \(\displaystyle AC_1C_2\ldots C_6\) azonos körüljárású szabályos hétszögek. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle B_1C_1, B_2C_2, \dots, B_6C_6\) egyenesek egy ponton mennek át.
Javasolta: Holló Gábor (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.
Megoldási ötlet: Milyen hasonlósági transzformáció viszi át az egyik hétszöget a másikba?
Megoldás. Legyen az \(\displaystyle AB_1B_2\ldots B_6\) hétszög körülírt köre \(\displaystyle k_B\), az \(\displaystyle AC_1C_2\ldots C_6\) hétszög körülírt köre pedig \(\displaystyle k_C\). A \(\displaystyle k_B\) és \(\displaystyle k_C\) körök átmennek \(\displaystyle A\)-n. Jelölje a két kör \(\displaystyle A\)-tól különböző metszéspontját \(\displaystyle M\) (ha a két kör \(\displaystyle A\)-ban érinti egymást, akkor \(\displaystyle M\equiv A\)). Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle i=1,2,\ldots,6\) esetén a \(\displaystyle B_iC_i\) egyenesek mindegyike átmegy \(\displaystyle M\)-en.
Legyen \(\displaystyle \alpha =\frac{180^{\circ}}{7}\). Ez a szabályos hétszögek oldalaihoz tartozó kerületi szög mind a \(\displaystyle k_B\), mind pedig a \(\displaystyle k_C\) körben. Az \(\displaystyle \alpha\) szög segítségével meg fogjuk határozni az \(\displaystyle AMB_i\) és \(\displaystyle AMC_i\) szögeket. Két fő esetet különböztetünk meg, annak megfelelően, hogy a \(\displaystyle B_i\) és \(\displaystyle C_i\) csúcsok az \(\displaystyle AM\) egyenes (ha a két kör \(\displaystyle A\)-ban érinti egymást, akkor az \(\displaystyle A\)-beli közös érintőjük) által meghatározott két félsík közül ugyanabba, vagy különbözőekbe esnek.
Feltehetjük, hogy a hétszögek pozitív körüljárásúak. Nevezzük az \(\displaystyle AM\) egyenes által meghatározott félsíkok közül pozitívnak azt, amelyik a \(\displaystyle k_B\) és \(\displaystyle k_C\) körök \(\displaystyle A\)-ból \(\displaystyle M\)-be menő ívei közül a pozitív irányút tartalmazza, negatív félsíknak pedig a másikat, s jelölje e nyílt félsíkokat \(\displaystyle \mathcal{F}_+\) és \(\displaystyle \mathcal{F}_-\) (1. ábra). Ekkor a kerületi szögek tételét alkalmazva kapjuk, hogy
\(\displaystyle AMB_i\sphericalangle = \begin{cases} AMB_1\sphericalangle +B_1MB_2\sphericalangle +\ldots +B_{i-1}MB_i\sphericalangle = i\cdot \alpha, & \text{ha } B_i \in \mathcal{F}_+, \\ {AMB_6\sphericalangle +B_6MB_5\sphericalangle +\ldots +B_{i+1}MB_i\sphericalangle = (7-i)\cdot \alpha,} & \text{ha } B_i \in \mathcal{F}_-, \end{cases} \)
s ugyanígy
\(\displaystyle AMC_i\sphericalangle = \begin{cases} i\cdot \alpha, & \text{ha } C_i \in \mathcal{F}_+, \\ (7-i)\cdot \alpha, & \text{ha } C_i \in \mathcal{F}_-. \end{cases} \)
1. ábra
Ezek után már egyszerűen beláthatjuk, hogy az \(\displaystyle M\), \(\displaystyle B_i\) és \(\displaystyle C_i\) pontok minden \(\displaystyle i=1,2,\ldots,6\) esetén egy egyenesbe esnek. Ha \(\displaystyle M\equiv B_i\) vagy \(\displaystyle M\equiv C_i\), akkor ez nyilvánvaló. Ha \(\displaystyle B_i\) és \(\displaystyle C_i\) közül mindkettő az \(\displaystyle \mathcal{F}_+\) vagy az \(\displaystyle \mathcal{F}_-\) félsíkba esik, akkor \(\displaystyle AMB_i\sphericalangle =AMC_i\sphericalangle\), és mivel \(\displaystyle B_i\) és \(\displaystyle C_i\) az \(\displaystyle AM\) egyenesnek ugyanazon az oldalán van, ezért ebből következik, hogy \(\displaystyle B_i\) és \(\displaystyle C_i\) ugyanazon az \(\displaystyle M\)-ből kiinduló félegyenesen van (2. ábra). Ha viszont \(\displaystyle B_i\) és \(\displaystyle C_i\) különböző félsíkokban vannak, akkor
\(\displaystyle AMB_i\sphericalangle +AMC_i\sphericalangle =i\cdot \alpha +(7-i)\cdot \alpha =180^{\circ }, \)
s mivel \(\displaystyle B_i\) és \(\displaystyle C_i\) az \(\displaystyle AM\) egyenesnek különböző oldalain vannak, ezért ebből következik, hogy \(\displaystyle B_i\), \(\displaystyle C_i\) és \(\displaystyle M\) kollineárisak (3. ábra).
2. ábra
3. ábra
Az előző bekezdésben leírtak \(\displaystyle M\equiv A\) esetén is igazak, csak azt kell meggondolnunk, hogy ekkor \(\displaystyle AMB_i\sphericalangle\) és \(\displaystyle AMC_i\sphericalangle\) a megfelelő érintőszárú kerületi szögeket jelöli (4. és 5. ábra).
4. ábra
5. ábra
Ezzel a feladat állítását beláttuk.
Kocsis Júlia (Dunakeszi, Radnóti M. Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján
Megjegyzés. A megoldás során nem használtuk ki, hogy a sokszögek oldalszáma 7. Ugyanezzel a gondolatmenettel belátható az állítás tetszőleges \(\displaystyle n\)-szögekre is. Sőt tulajdonképpen azt bizonyítottuk be, hogy ha tekintjük az egymást az \(\displaystyle A\) pontban metsző \(\displaystyle k_B\) és \(\displaystyle k_C\) körvonalak azon \(\displaystyle B_{\varphi}\) és \(\displaystyle C_{\varphi}\) pontjait, melyekre az ugyanolyan irányítású \(\displaystyle AB_{\varphi}\) és \(\displaystyle AC_{\varphi}\) ívekhez tartozó középponti szögek megegyeznek, akkor a \(\displaystyle B_{\varphi}C_{\varphi}\) egyenesek átmennek \(\displaystyle k_B\) és \(\displaystyle k_C\) másik (esetleg \(\displaystyle A\)-val egybeeső) metszéspontján.
Statisztika:
80 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Andó Angelika, Baran Zsuzsanna, Bodolai Előd, Cseh Kristóf, Csépai András, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Panna, Gál Boglárka, Glattfelder Hanna, Hansel Soma, Kocsis Júlia, Kovács Péter Tamás, Nagy Dávid Paszkál, Németh 123 Balázs, Papp 893 Marcell, Polgár Márton, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Szebellédi Márton, Szécsényi Nándor, Tomcsányi Gergely, Tóth Viktor, Varga-Umbrich Eszter, Williams Kada. 4 pontot kapott: Bereczki Zoltán, Gyulai-Nagy Szuzina, Horváth Miklós Zsigmond, Imolay András, Katona Dániel, Kerekes Anna, Kovács 972 Márton, Kovács Kitti Fanni, Kuchár Zsolt, Lakatos Ádám, Mócsy Miklós, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy-György Pál, Olexó Gergely, Páli Petra, Porupsánszki István, Sal Kristóf, Szakács Lili Kata, Széles Katalin, Szemerédi Levente, Szőke Tamás, Vankó Miléna, Várkonyi Dorka, Wei Cong Wu. 3 pontot kapott: 10 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai