A B. 4687. feladat (2015. február)

B. 4687. Sámson felírja egy papírlapra az 123456789-es számot. Ezután bármely két szomszédos számjegy közé beszúrhat szorzásjelet, akár többet is különböző helyekre, vagy egyet sem. A szorzásjelek közé eső számjegyeket egy számként összeolvasva egy számok szorzatából álló kifejezést kap, például \(\displaystyle 1234 \cdot 56 \cdot 789\). Legfeljebb mekkora lehet a kapott szám?

Javasolta: Gáspár Merse Előd (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2015. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Válasszuk ki tetszőleges helyen az első szorzásjel helyét, ezzel osszuk fel az eredeti számot \(\displaystyle A\)-ra és \(\displaystyle B\)-re. Legyen \(\displaystyle k\) a \(\displaystyle B\) szám hossza. Az eredeti szám értéke \(\displaystyle A\cdot {10}^{k}+B\), míg a szorzásjel beszúrásával keletkező szorzat értéke \(\displaystyle A\cdot B\). Mivel a \(\displaystyle B\) szám \(\displaystyle k\) darab számjegyből áll, ezért \(\displaystyle {10}^{k}>B\). Így

\(\displaystyle A\cdot {10}^{k}+B > A\cdot B + B \geqslant A\cdot B. \)

Ezt a gondolatmenetet alkalmazhatjuk minden további szorzásjel beszúrásakor.

Ebből megállapítható, hogy minden szorzásjel beszúrása csökkenti a kifejezés értékét. A legnagyobb számot tehát úgy kapjuk, ha nem szúrunk be szorzásjelet.

Így a lehető legnagyobb szám a \(\displaystyle 123\,456\,789\).

Adorján Dániel (Budapest, Szent István Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

150 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	67 versenyző.
2 pontot kapott:	35 versenyző.
1 pontot kapott:	15 versenyző.
0 pontot kapott:	32 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2015. februári matematika feladatai