Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2015. februári matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. március 10-én LEJÁRT.


K. 451. A kő-papír-olló játékban három szabályt kell ismerni a játékosoknak: a kő kicsorbítja az ollót, az olló elvágja a papírt, a papír becsomagolja a követ, így eldől, hogy melyik győzi le a másikat. Hány új szabályt kell megalkotnunk, ha behozunk a játékba négy újabb lehetőséget (pl. gyufa, szemüveg, telefon, bélyegző)? Milyen alapelv szerint kell az új szabályokat létrehoznunk ahhoz, hogy az új játék is az eredetihez hasonlóan kiegyensúlyozott legyen?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 452. Egy istállóhoz csatlakozik egy takarmány tárolására szolgáló siló, melynek alakja szabályos háromszög alapú hasáb.

Az istállóépület hosszabbik oldalának hossza 9 méter, a siló egy oldalának hossza (felülnézetben) 3 méter. A siló és az istálló találkozási pontjához kikötöttek egy kecskét (az ábrának megfelelően) egy 9 méter hosszú kötéllel. A kötelet a kecske nem tudja elszakítani, és a kötél nem nyúlik meg. Az épületek körül fű van, nincs kerítés, semmi olyan tereptárgy, ami a kecskét a legelésben akadályozná. Mekkora nagyságú területet tud a kecske lelegelni?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 453. Egy dolgozat átlaga 71 pont volt. A tanár azonban egy feladat értékelésénél hibázott, így minden tanulónak adott a dolgozatára még 1 pontot. A dolgozatok összpontszáma így 936-ra változott. Hány gyerek írta meg ezt a dolgozatot?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 454. A következő műveletekben szereplő számok számjegyeit nagyon sok helyen betűkkel helyettesítettük. A különböző betűk különböző, az azonos betűk azonos számjegyet jelentenek. Egyik betű sem jelenti az 1-et.

\(\displaystyle 1 \cdot \mathrm{G} + 1 = \mathrm{H}, \)

\(\displaystyle 1\mathrm{A} \cdot \mathrm{G} + 2 = \mathrm{HG}, \)

\(\displaystyle 1\mathrm{AB} \cdot \mathrm{G} + 3 = \mathrm{HGF}, \)

\(\displaystyle 1\mathrm{ABC} \cdot \mathrm{G} + 4 = \mathrm{HGFE}, \)

\(\displaystyle 1\mathrm{ABCD} \cdot \mathrm{G} + 5 = \mathrm{HGFED}.\)

Adjuk meg a betűk értékét.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 455. Ha a 2015-öt felírjuk a 2-es számrendszerben, akkor palindrom számot kapunk: 11111011111. Hány olyan XXI. századi évszám van, amelynek 2-es számrendszerbeli alakja szintén palindrom?

Kiss Sándor (Nyíregyháza) ötlete alapján

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 456. A \(\displaystyle b\) alapú számrendszerben felírt 220, 251 és 304 számok három egymást követő négyzetszám. Mennyi \(\displaystyle b\) értéke?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. március 10-én LEJÁRT.


C. 1273. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle n,k\in \mathbb{N}\) esetén \(\displaystyle 3^{4n}+4\cdot 7^{4k}\) osztható 5-tel.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1274. Egy cég 482 dolgozója 30 járművel csapatépítő tréningre utazik, amelyek 4, 19, illetve 21 utast tudnak szállítani. Minden járműnek tele kell lennie. Melyik járműből hányra van szükségük? Az összes megoldást adjuk meg.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1275. Melyik az a legnagyobb ötjegyű \(\displaystyle \overline{abcde}\) pozitív egész, ami osztható a \(\displaystyle \overline{bcde}\), \(\displaystyle \overline{cde}\), \(\displaystyle \overline{de}\) és \(\displaystyle e\) számok mindegyikével?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1276. Az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle DA\) oldalainak belső pontjai rendre \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\), \(\displaystyle Z\), \(\displaystyle V\), amelyekre fennáll:

\(\displaystyle \frac{AX}{XB}=\frac{BY}{YC}=\frac{CZ}{ZD}=\frac{DV}{VA}=k, \)

ahol a \(\displaystyle k\) egy \(\displaystyle \frac 12\)-nél kisebb pozitív állandó. Mekkora \(\displaystyle k\) értéke, ha az \(\displaystyle XYZV\) négyszög területe az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma területének 68%-a?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1277. Az \(\displaystyle r^2\) értékétől függően hány megoldása van az

\(\displaystyle x^2 + y^2 =r^2,\)

\(\displaystyle |x| + |y| =2\)

egyenletrendszernek?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1278. Határozzuk meg \(\displaystyle n\) értékét, ha \(\displaystyle \binom n1\), \(\displaystyle \binom n2\) és \(\displaystyle \binom n3\) egy növekvő számtani sorozat három egymást követő tagja.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1279. Határozzuk meg azon \(\displaystyle ABCD\) négyzeteket, melyek \(\displaystyle A\) csúcsa a \(\displaystyle (4;-2)\) pont, \(\displaystyle B\) csúcsa rajta van a \(\displaystyle b\colon {(x-5)}^2+ {(y-2)}^2=25\) körön, \(\displaystyle D\) csúcsa pedig a \(\displaystyle d\colon 4x+3y+2=0\) egyenesen.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. március 10-én LEJÁRT.


B. 4687. Sámson felírja egy papírlapra az 123456789-es számot. Ezután bármely két szomszédos számjegy közé beszúrhat szorzásjelet, akár többet is különböző helyekre, vagy egyet sem. A szorzásjelek közé eső számjegyeket egy számként összeolvasva egy számok szorzatából álló kifejezést kap, például \(\displaystyle 1234 \cdot 56 \cdot 789\). Legfeljebb mekkora lehet a kapott szám?

Javasolta: Gáspár Merse Előd (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4688. Ha mindkét kifejezésben 50-50 kettes és hármas szerepel felváltva, akkor az alábbi számok közül melyik a nagyobb:

\(\displaystyle 2^{3^{\scriptstyle 2^{\scriptstyle 3^{\scriptstyle .^{\scriptstyle .^{\scriptstyle .^{\scriptstyle 2^{\scriptstyle 3}}}}}}}} \quad\text{vagy}\quad 3^{2^{\scriptstyle 3^{\scriptstyle 2^{\scriptstyle .^{\scriptstyle .^{\scriptstyle .^{\scriptstyle 3^{\scriptstyle 2}}}}}}}}? \)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4689. Van-e olyan ötszög alapú gúla, amelyet egy sík szabályos hatszögben metsz?

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4690. Egy egyetemről 9 matematikus együtt vett részt egy konferencián. Mivel az előadások unalmasak voltak, többször is elaludtak, mindegyikük legfeljebb 4 alkalommal. Bármelyik két matematikus esetén előfordult, hogy egyszerre aludtak. Mutassuk meg, hogy volt olyan időpont, amikor legalább hárman aludtak.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4691. Tekintsünk négy párhuzamos egyenest a síkon. Legyenek ezek sorrendben \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) távolsága 1, \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) távolsága 3, \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) távolsága szintén 1. Tekintsük azokat a téglalapokat, amelyek csúcsai közül mind a négy egyenesen pontosan egy helyezkedik el. Hogyan kapjuk meg azt a téglalapot, amelynek a lehető legkisebb a területe, és mekkora ez a terület?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4692. Egy hegyesszögű háromszög oldalait \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\), az ezekkel szemköztes szögeit \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \gamma\), a megfelelő oldalakon nyugvó magasságvonalak hosszát pedig \(\displaystyle m_a\), \(\displaystyle m_b\) és \(\displaystyle m_c\) jelöli. Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle \frac{m_a}{a} + \frac{m_b}{b} + \frac{m_c}{c} \ge 2\cos \alpha \cos\beta \cos \gamma \left(\frac{1}{\sin 2\alpha} + \frac{1}{\sin 2\beta} + \frac{1}{\sin 2\gamma}\right) + \sqrt{3}\,. \)

Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Gimn.)

(5 pont)

megoldás (angolul), statisztika


B. 4693. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AC\) oldalán lévő \(\displaystyle K\) pontra \(\displaystyle AK=2KC\) és \(\displaystyle ABK\sphericalangle = 2KBC\sphericalangle\) teljesül. Jelölje \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle AC\) oldal felezőpontját, az \(\displaystyle A\) pont \(\displaystyle BK\) szakaszra eső merőleges vetületét pedig \(\displaystyle L\). Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle FL\) és \(\displaystyle BC\) egyenesek merőlegesek egymásra.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4694. Keressük meg az összes olyan \(\displaystyle p_1\), \(\displaystyle q_1\), \(\displaystyle p_2\), \(\displaystyle q_2\) valós számokat, melyekre teljesül, hogy az \(\displaystyle x^3+p_1x+q_1=0\) egyenletnek gyökei a \(\displaystyle p_2\) és \(\displaystyle q_2\), az \(\displaystyle x^3+p_2x+q_2=0\) egyenletnek pedig gyökei a \(\displaystyle p_1\) és \(\displaystyle q_1\) számok.

Javasolta: Bertalan Zoltán (Békéscsaba)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4695. A sík pontjainak egy permutációjáról tudjuk, hogy ha három pont egy körön van, akkor a képeik is egy körön vannak. Mutassuk meg, hogy ennél a permutációnál három pont pontosan akkor van egy egyenesen, ha a képeik is egy egyenesen vannak.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. március 10-én LEJÁRT.


A. 635. Mutassuk meg, hogy minden \(\displaystyle c>0\) valós számhoz létezik olyan \(\displaystyle n\) pozitív egész, amire \(\displaystyle \varphi\big(\sigma(n)\big)>cn\). (Tetszőleges \(\displaystyle k\) pozitív egészre \(\displaystyle \varphi(k)\) a \(\displaystyle k\)-nál nem nagyobb, \(\displaystyle k\)-hoz relatív prím pozitív egészek számát, \(\displaystyle \sigma(k)\) pedig a \(\displaystyle k\) pozitív osztóinak összegét jelöli.)

Javasolta: Szabó Barnabás (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 636. Adott egy konvex \(\displaystyle ABCD\) négyszög és a \(\displaystyle BCD\) háromszög belsejében egy \(\displaystyle P\) pont úgy, hogy az \(\displaystyle ABPD\) négyszög érintőnégyszög, továbbá az \(\displaystyle ABPD\) négyszög beírt köre, a \(\displaystyle BCP\) háromszög beírt köre és a \(\displaystyle CDP\) háromszög beírt köre páronként érintik egymást. Jelölje \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\) a megfelelő körök érintési pontjait a \(\displaystyle BP\), illetve a \(\displaystyle DP\) szakaszon. Legyen \(\displaystyle S\) a \(\displaystyle BP\) és az \(\displaystyle AR\) egyenesek metszéspontja, \(\displaystyle T\) a \(\displaystyle DP\) és az \(\displaystyle AQ\) egyenesek metszéspontja, végül \(\displaystyle U\) a \(\displaystyle BT\) és a \(\displaystyle DS\) egyenesek metszéspontja. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle CU\) egyenes felezi a \(\displaystyle BCD\) szöget.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 637. Legyen \(\displaystyle n\) pozitív egész. Legyen \(\displaystyle \mathcal{F}\) egy olyan halmazrendszer, amely egy \(\displaystyle n\) elemű \(\displaystyle X\) halmaz összes részhalmazának több, mint a felét tartalmazza. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle \mathcal{F}\)-ből mindig kiválasztható \(\displaystyle \lceil\log_2n\rceil+1\) halmaz úgy, hogy ezek együtt szeparálják \(\displaystyle X\) elemeit, vagyis \(\displaystyle X\) bármely két különböző eleméhez van olyan kiválasztott halmaz, amely a kettő közül pontosan egyet tartalmaz.

Schweitzer Miklós Emlékverseny, 2014

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)