A B. 4689. feladat (2015. február)

B. 4689. Van-e olyan ötszög alapú gúla, amelyet egy sík szabályos hatszögben metsz?

(6 pont)

A beküldési határidő 2015. március 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Hatszögből építsük fel a gúlát.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy van a feltételeknek megfelelő gúla. ,,Fordítva'' fogunk eljárni, nem a gúlához keresünk jó metszősíkot, hanem egy szabályos hatszöghöz konstruálunk jó gúlát.

Vegyünk fel a térben egy \(\displaystyle \mathcal{S}\) síkot és abban egy \(\displaystyle ABCDEF\) szabályos hatszöget, továbbá legyen a hatszög középpontján átmenő, \(\displaystyle \mathcal{S}\)-re merőleges egyenesen \(\displaystyle P\) egy \(\displaystyle \mathcal{S}\)-re nem illeszkedő pont. Legyen \(\displaystyle \mathcal{S}'\) egy \(\displaystyle AB\)-re illeszkedő, \(\displaystyle \mathcal{S}\)-től különböző olyan sík, mely által meghatározott két féltér közül az egyik tartalmazza az \(\displaystyle ABCDEF\) hatszöget, és metszi a \(\displaystyle P\)-ből induló \(\displaystyle PC\), \(\displaystyle PD\), \(\displaystyle PE\) és \(\displaystyle PF\) félegyenesek mindegyikét, rendre a \(\displaystyle C'\), \(\displaystyle D'\), \(\displaystyle E'\) és \(\displaystyle F'\) pontokban. Ilyen sík nyilván végtelen sok létezik, úgy kaphatjuk meg őket, hogy \(\displaystyle \mathcal{S}\)-et az \(\displaystyle AB\) egyenes körül megfelelő irányban forgatjuk (lásd az ábrát).

Az \(\displaystyle AF'\) és \(\displaystyle BC'\) egyenesek definíciójukból következően az \(\displaystyle AB\) szakasz \(\displaystyle \mathcal{M}\) felezőmerőleges síkjára szimmetrikusan helyezkednek el. Mivel \(\displaystyle F'\) nyilván messzebb van \(\displaystyle \mathcal{M}\)-től, mint \(\displaystyle A\) (hiszen már \(\displaystyle F\) is messzebb van \(\displaystyle \mathcal{M}\)-től, mint \(\displaystyle A\)), ezért az \(\displaystyle F'A\) egyenes nem párhuzamos \(\displaystyle \mathcal{M}\)-mel. Legyen \(\displaystyle G=\mathcal{M}\cap F'A\). Ekkor a szimmetria miatt a \(\displaystyle C'B\) egyenes is átmegy \(\displaystyle G\)-n. Mivel \(\displaystyle F'A\) benne van a \(\displaystyle C'D'E'F'\) síkban, ezért \(\displaystyle G\) is.

Ekkor a \(\displaystyle GC'D'E'F'\) ötszög alapú, \(\displaystyle P\) csúcsú gúla eleget tesz a feltételeknek, mert az \(\displaystyle \mathcal{S}\) síkkal vett metszete az \(\displaystyle ABCDEF\) szabályos hatszög.

Khayouti Sára (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

43 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Adorján Dániel, Andó Angelika, Barabás Ábel, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Panna, Gyulai-Nagy Szuzina, Hansel Soma, Keresztfalvi Bálint, Khayouti Sára, Kocsis Júlia, Lajkó Kálmán, Mócsy Miklós, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Németh 123 Balázs, Páli Petra, Porupsánszki István, Sal Kristóf, Schrettner Bálint, Szakály Marcell, Szász Dániel Soma, Szebellédi Márton, Tóth Viktor, Török Tímea, Vághy Mihály, Vágó Ákos, Váli Benedek, Várkonyi Dorka, Williams Kada.
5 pontot kapott:	Czirkos Angéla, Gyulai-Nagy Dániel, Kosztolányi Kata, Nagy Kartal, Simon Dániel Gábor.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2015. februári matematika feladatai