Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4707. feladat (2015. április)

B. 4707. Legyen \(\displaystyle t>1\) páratlan egész szám. Mutassuk meg, hogy csak véges sok olyan, \(\displaystyle t\)-nél nem kisebb \(\displaystyle n\), \(\displaystyle k\) egészekből álló pár létezik, amelyre \(\displaystyle S=\binom{n}{t} + \binom{k}{t}\) prím.

Javasolta: Maga Balázs (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. május 11-én LEJÁRT.


Megoldásvázlat.

Azt állítjuk, hogy \(\displaystyle t!\cdot S\) minden esetben osztható az \(\displaystyle M=n+k-t+1\) számmal. Ugyanis \(\displaystyle n=M-k+t-1\equiv -k+t-1\pmod{M}\), és így

\(\displaystyle t!\cdot S = \prod_{i=0}^{t-1} (n-i) + \prod_{i=0}^{t-1}(k-i) \equiv \prod_{i=0}^{t-1} \big(-k+(t-1-i)\big) + \prod_{i=0}^{t-1}(k-i) = \)

\(\displaystyle = \prod_{i=0}^{t-1} (-k+i) + \prod_{i=0}^{t-1}(k-i) = 0 \pmod{M}. \)

A továbbiakban megmutatjuk, hogy például \(\displaystyle \max(n,k)>2t!\) esetén \(\displaystyle S\) biztosan összetett. Legyen \(\displaystyle m=\max(n,k)>2t!\).

Mint láttuk, \(\displaystyle M ~\big|~ t!\cdot S\). De \(\displaystyle M>m>t!\), így az \(\displaystyle M\)-nek kell, hogy legyen egy közös \(\displaystyle P\) prímosztója \(\displaystyle S\)-sel. Még azt kell kizárnuk, hogy \(\displaystyle P\) nem azonos \(\displaystyle S\)-sel:

\(\displaystyle S > \binom{m}{t} > \frac{m \cdot (m-t)^{t-1}}{t!} > \frac{m \cdot (t!)^{t-1}}{t!} > 2m > M \ge P, \)

amiből láthatjuk, hogy \(\displaystyle P\ne S\). Azt kaptuk tehát, hogy \(\displaystyle S\)-nek van egy valódi prímosztója, ezért csak összetett lehet.

Megjegyzés. A megoldás azon múlik, hogy páratlan \(\displaystyle t\) esetén az \(\displaystyle \binom{x}{t}+\binom{y}{t}=\frac{x(x-1)\ldots(x-t+1)+y(y-1)\ldots(y-t+1)}{t!}\) polinom osztható az \(\displaystyle x+y-t+1\) polinommal.


Statisztika:

13 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Baran Zsuzsanna, Glasznova Maja, Schwarcz Tamás, Williams Kada.
4 pontot kapott:Gáspár Attila, Imolay András, Nagy-György Pál, Németh 123 Balázs, Schrettner Bálint, Szebellédi Márton, Wiandt Péter.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2015. áprilisi matematika feladatai