 |
A B. 4719. feladat (2015. május) |
B. 4719. Bizonyítsuk be, hogy bármely \(\displaystyle a \ge b\) pozitív egész számokra teljesül, hogy
\(\displaystyle \sum_{j=0}^{b}\, \sum_{i=j}^{a-b+j} \binom{i}{j} \binom{a-i}{b-j} =(a+1)\binom{a}{b}. \)
Javasolta: Porupsánszki István (Miskolc, Földes Ferenc Gimn., 12. évf.)
(5 pont)
A beküldési határidő 2015. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az ilyen jellegű feladatoknál érdemes megpróbálni kombinatorikai tartalmat keresni a képletekhez. Nagy Kartal (Budapesti Fazekas Mihály Gimn., 11. évf.) ezt nagyon ügyesen oldotta meg:
A jobb oldalon az \(\displaystyle \binom ab\) azt mutatja, hogy \(\displaystyle a\) darab golyó közül hányféleképpen lehet \(\displaystyle b\) darab golyót átszínezni. Az \(\displaystyle (a+1)\) pedig azt, hogy \(\displaystyle a\) darab sorbarakott golyót hányféleképpen lehet elválasztani.
Ez van a bal oldalon is. Az \(\displaystyle i\) szám azt jelöli, hogy (az elválasztás után) hány szám van a ,,bal'' részen, a \(\displaystyle j\) szám pedig azt, hogy ebből hányat színezünk át. Így a bal oldal is minden esetet megszámol, s mindegyiket egyszer.
Így mindkét oldal ugyannak az eseménynek a lehetőségeit nézi meg, vagyis a két oldal egyenlő.
Statisztika:
35 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Andi Gabriel Brojbeanu, Andó Angelika, Barabás Ábel, Baran Zsuzsanna, Cseh Kristóf, Csépai András, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Panna, Gál Hanna, Gáspár Attila, Glasznova Maja, Hansel Soma, Imolay András, Katona Dániel, Kerekes Anna, Kovács 246 Benedek, Lajkó Kálmán, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Dávid Paszkál, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Németh 123 Balázs, Porupsánszki István, Sal Kristóf, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Szakács Lili Kata, Szebellédi Márton, Vághy Mihály, Varga-Umbrich Eszter, Várkonyi Dorka, Williams Kada. 4 pontot kapott: Leitereg Miklós, Váli Benedek. 3 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2015. májusi matematika feladatai