Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4730. feladat (2015. szeptember)

B. 4730. Adottak a síkon az egymást \(\displaystyle E\)-ben érintő \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) körök. Kijelöltük mindkét \(\displaystyle k_i\) körön (\(\displaystyle i = 1, 2\)) az \(\displaystyle X_i\) és \(\displaystyle Y_i\) pontot úgy, hogy a két \(\displaystyle X_iY_i\) egyenes a körök közös belső érintőjén messe egymást. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle X_1X_2E\) és \(\displaystyle Y_1Y_2E\) körök centrálisa, valamint az \(\displaystyle X_1Y_2E\) és \(\displaystyle X_2Y_1E\) körök centrálisa szintén a közös belső érintőn metszi egymást.

Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Gimn.)

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.


Megoldásvázlat. Belátjuk, hogy a két centrális az \(\displaystyle X_1Y_1 \cap X_2Y_2 =: P\) pontban metszi egymást. Ehhez elég megmutatni, hogy a centrálisokat meghatározó körpároknak \(\displaystyle P\) az egyik hasonlósági pontja. Csak az \(\displaystyle X_1X_2E\), \(\displaystyle Y_1Y_2E\) körpárral foglalkozunk, a másik körpárra ugyanaz a gondolatmenet alkalmazható. Messe utóbbi a \(\displaystyle PY_i\) egyenest \(\displaystyle Z_i\) pontban, a \(\displaystyle PE\) egyenest pedig \(\displaystyle A\)-ban. Állításunk belátásához elég megmutatni, hogy az egyik kör három pontjának képe egy \(\displaystyle P\) középpontú hasonlóságban a másik kör három pontja lesz, vagyis az előjeles \(\displaystyle \frac{PX_i}{PZ_i}\) és \(\displaystyle \frac{PE}{PA}\) hányadosok megegyeznek. Ez a megfelelő körökre vonatkozó hatványokat felírva triviális: a szakaszokat előjelezve érvényes \(\displaystyle PY_i\cdot PZ_i = PA \cdot PE\) és \(\displaystyle PX_i \cdot PY_i = PE^2\), ezért

\(\displaystyle \frac{PE}{PA}=\frac{PE^2}{PA\cdot PE}=\frac{PX_i\cdot PY_i}{PY_i\cdot PZ_i}=\frac{PX_i}{PZ_i},\)

ezt akartuk belátni.


Statisztika:

17 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Baran Zsuzsanna, Bodolai Előd, Cseh Kristóf, Döbröntei Dávid Bence, Imolay András, Kerekes Anna, Lajkó Kálmán, Polgár Márton, Schrettner Bálint, Varga-Umbrich Eszter.
4 pontot kapott:Barabás Ábel, Bukva Balázs, Gáspár Attila.
3 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai