 |
A B. 4745. feladat (2015. november) |
B. 4745. Legyen \(\displaystyle n\) pozitív egész szám. Oldjuk meg az
\(\displaystyle \frac{1}{\sin^{2n} x} + \frac{1}{\cos^{2n} x} = 2^{n+1} \)
egyenletet.
Javasolta: Longáver Lajos (Szatmárnémeti)
(4 pont)
A beküldési határidő 2015. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Megmutatjuk, hogy a baloldal sohasem kisebb, mint a jobboldal.
Írjuk fel az \(\displaystyle n\)-edik hatványközép és a harmonikus közép közötti egyenlőtlenséget az \(\displaystyle \frac1{\sin^2x}\) és \(\displaystyle \frac1{\cos^2x}\) pozitív számokra:
| \(\displaystyle \left(\dfrac{\Big(\frac1{\sin^2x}\Big)^n+\Big(\frac1{\cos^2x}\Big)^n}2 \right)^{\frac1n} \ge \dfrac2{\frac1{1/\sin^2x}+\frac1{1/\cos^2x}}; \) | (1) |
egyenlőség akkor áll, ha egyenlő számoknak vettük a közepeit; \(\displaystyle \frac1{\sin^2x}=\frac1{\cos^2x}\), vagyis \(\displaystyle |\sin x|=|\cos x|=\frac{\sqrt2}2\), tehát \(\displaystyle x=\frac{(2k+1)\pi}{4}\).
Az (1) jobboldala konstans:
\(\displaystyle \dfrac2{\frac1{1/\sin^2x}+\frac1{1/\cos^2x}} = \frac2{\sin^2x+\cos^2x}=2. \)
Az egyenlőtlenséget \(\displaystyle n\)-edik hatványra emelve és \(\displaystyle 2\)-vel szorozva,
\(\displaystyle \frac1{\sin^{2n}x}+\frac1{\cos^{2n}x} \ge 2^{n+1}. \)
Mint láttuk, egyenlőség \(\displaystyle x=\frac{(2k+1)\pi}{4}\) esetén áll.
Statisztika:
97 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 77 versenyző. 3 pontot kapott: 12 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2015. novemberi matematika feladatai