Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4746. feladat (2015. november)

B. 4746. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírható köre a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle AB\) oldalakat rendre az \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\) és \(\displaystyle C_1\) pontban érinti. Az \(\displaystyle AA_1\) szakasznak a beírható körrel való másik metszéspontja \(\displaystyle Q\). Az \(\displaystyle A\) ponton átmenő, \(\displaystyle BC\)-vel párhuzamos egyenest az \(\displaystyle A_1 C_1\) és \(\displaystyle A_1 B_1\) egyenesek a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle R\) pontban metszik. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle PQR\sphericalangle =B_1 QC_1\sphericalangle\).

(Kvant)

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. december 10-én LEJÁRT.


Megoldásvázlat. Legyen az \(\displaystyle A_1B_1Q\angle=\delta\). Ez a szög a háromszögbe írt körben az \(\displaystyle A_1C_1Q\) íven nyugvó kerületi szög. Ugyanehhez az ívhez tartozó érintő szárú kerületi szög a \(\displaystyle QA_1B\angle\). Így ez a két szög egyenlő.

\(\displaystyle A_1AR\angle=QA_1B\angle=\delta\), mert váltószögek, hiszen \(\displaystyle PR\parallel BC\).

Az \(\displaystyle AQB_1R\) négyszögben a \(\displaystyle B_1\) csúcsnál lévő szög \(\displaystyle 180^{\circ}-\delta\), az \(\displaystyle A\) csúcsnál lévő szög \(\displaystyle \delta\), vagyis a négyszög szemben lévő szögeinek összege \(\displaystyle 180^{\circ}\), tehát húrnégyszög. Hasonlóan belátható, hogy az \(\displaystyle AQC_1P\) négyszög is húrnégyszög.

Legyen az \(\displaystyle A_1QC_1\angle=\varepsilon\). Ez a szög a háromszögbe írt körben az \(\displaystyle A_1C_1\) íven nyugvó kerületi szög. Ugyanehhez az ívhez tartozó érintő szárú kerületi szög az \(\displaystyle A_1C_1B\angle\). Így ez a két szög egyenlő. \(\displaystyle A_1C_1B\angle=PC_1A\angle=\varepsilon\), mert csúcsszögek.

Az \(\displaystyle AQC_1P\) húrnégyszögben \(\displaystyle PC_1A\angle=PQA\angle=\varepsilon\), mert azonos íven nyugvó kerületi szögek. Így beláttuk, hogy \(\displaystyle A_1QC_1\angle=PQA\angle=\varepsilon\).

Hasonlóan beláthatjuk, hogy \(\displaystyle A_1QB_1\angle=AQR\angle=\varphi\).

Tehát \(\displaystyle PQR\angle=\varepsilon+\varphi=B_1QC_1\angle\), és ezt kellett igazolnunk.


Statisztika:

77 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:62 versenyző.
4 pontot kapott:5 versenyző.
3 pontot kapott:4 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2015. novemberi matematika feladatai