A B. 4747. feladat (2015. november)

B. 4747. Az idei év legelső játékhetében a hatoslottó különleges meglepetéssel szolgált, ugyanis öt egymás utáni számot húztak ki a 45-ből. A kihúzott nyerőszámok a következők voltak: 37, 38, 39, 40, 41, 45. A hír hamar bejárta a sajtót, de vajon tényleg annyira különlegesek? Nevezzünk tökéletesnek egy számsort, ha hat közvetlenül egymás után álló számból áll, és majdnem tökéletesnek, ha a hatból pontosan öt közvetlenül egymást követi. Hány különböző tökéletes, illetve majdnem tökéletes kombináció van? Figyelembe véve, hogy a hatoslottót több mint 26 éve játsszák, és eddig 1227 játékhét volt, mekkora a valószínűsége annak, hogy ennyi idő alatt kihúznak legalább egy tökéletes vagy majdnem tökéletes számsort?

Javasolta: Gáspár Merse Előd (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2015. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A tökéletes számsorok: (1, 2, 3, 4, 5, 6), (2, 3, 4, 5, 6, 7),... (40, 41, 42, 43, 44, 45).

Tehát 40 ilyen számsor van. A majdnem tökéletes számsorokat úgy állítjuk elő, hogy vesszük az egymás utáni számötösöket:

(1, 2, 3, 4, 5), (2, 3, 4, 5, 6),... (41, 42, 43, 44, 45), ezekből 41 van.

Ezután mindegyikhez választunk még egy számot a maradék számok közül, de úgy, hogy ne alkossunk tökéletes számsort. Erre az első és utolsó számötösnél 39, a többinél 38 lehetőség van.

Tehát \(\displaystyle 2\cdot39+39\cdot38=1\,560\) majdnem tökéletes számsor van.

A tökéletes vagy majdnem tökéletes számsorok száma: \(\displaystyle 1\,600\).

A kihúzható összes számsorok száma: \(\displaystyle \binom{45}{6}=8\,145\,060\).

Annak a valószínűsége, hogy egy játékhéten kihúznak egy tökéletes vagy egy majdnem tökéletes számsort: \(\displaystyle p_1=\frac{1\,600}{8\,145\,060}\approx 0,00019644\).

Annak a valószínűsége, hogy a megadott idő alatt nem húztak ki egy ilyen számot sem: \(\displaystyle p_2=(1-p_1)^{1\,227}\).

Tehát annak a valószínűsége, hogy ennyi idő alatt kihúznak legalább egy tökéletes vagy majdnem tökéletes számsort:

\(\displaystyle P=1-p_2=1-(1-p_1)^{1\;227}=1-\left(1-\frac{1\,600}{8\,145\,060}\right)^{1\,227}\approx0,2142,\)

vagyis 21,42%.

Statisztika:

184 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	87 versenyző.
2 pontot kapott:	64 versenyző.
1 pontot kapott:	22 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2015. novemberi matematika feladatai