A B. 4751. feladat (2015. december)

B. 4751. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle 3^{n}+5^{n}\) egyetlen pozitív egész \(\displaystyle n\) esetén sem négyzetszám.

Javasolta: Somlai Gábor (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Az \(\displaystyle 5^n\) hatvány \(\displaystyle 4\)-es maradéka minden pozitív egész \(\displaystyle n\) esetén \(\displaystyle 1\). A \(\displaystyle 3^n\) hatvány \(\displaystyle 4\)-es maradéka szintén \(\displaystyle 1\), ha \(\displaystyle n\) páros és \(\displaystyle 3\), ha \(\displaystyle n\) páratlan. Ezek szerint páros kitevő esetén a \(\displaystyle 3^n+5^n\) összeg \(\displaystyle 4\)-es maradéka \(\displaystyle 2\), tehát biztosan nem négyzetszám. Páratlan \(\displaystyle n\) esetén az ismert algebrai azonosság alapján a két hatvány összege szorzattá alakítható:

\(\displaystyle 3^n+5^n=3^{2k+1}+5^{2k+1}=(3+5)(3^{2k}-3^{2k-1}\cdot 5+3^{2k-2}\cdot 5^2-...+5^{2k}).\)

Az első tényező 8, a másik tényező pedig \(\displaystyle 2k+1\) darab páratlan szám összege, tehát páratlan. Így \(\displaystyle 3^{n}+5^{n}\)-ben a \(\displaystyle 2\) kitevője ismét páratlan, tehát biztosan nem négyzetszám.

Megjegyzés: Páratlan \(\displaystyle n\) kitevő esetén a hármas maradékok vizsgálatával is gyorsan célhoz érünk, hiszen \(\displaystyle 3^{n}\) osztható \(\displaystyle 3\)-mal, az \(\displaystyle 5^{n}\) hatvány \(\displaystyle 3\)-as maradéka pedig \(\displaystyle 2\). Tudjuk, hogy a négyzetszámok \(\displaystyle 3\)-mal osztva nem adhatnak \(\displaystyle 2\) maradékot, tehát a \(\displaystyle 3^{n}+5^{n}\) biztosan nem négyzetszám.

Statisztika:

203 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	179 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2015. decemberi matematika feladatai