A B. 4761. feladat (2016. január)

B. 4761. Legyen az \(\displaystyle n\) egész 3-nál nagyobb. Igazoljuk, hogy ha egy egész szám \(\displaystyle n\) alapú számrendszerbeli alakjában minden számjegy pontosan egyszer fordul elő, akkor a szám nem lehet prímszám.

Javasolta: Halasi Zoltán (Csobánka)

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Belátjuk, hogy páros \(\displaystyle n\) esetén \(\displaystyle (n-1)\), páratlan \(\displaystyle n\) esetén \(\displaystyle \frac{n-1}{2}\) valódi osztója ennek a számnak. Mivel \(\displaystyle n\) nagyobb \(\displaystyle 3\)-nál , ez igazolja az állítást. Írjuk fel a feladat szövegében szereplő számot az \(\displaystyle n\) hatványainak segítségével. A számban \(\displaystyle 0\)-tól \(\displaystyle (n-1)\)-ig minden számjegy pontosan egyszer fordul elő, tehát a szám \(\displaystyle n\)-jegyű:

\(\displaystyle a_{n-1}\cdot n^{n-1}+a_{n-2}\cdot n^{n-2}+ \ldots + a_{1}\cdot n + a_{0}.\)

Azt is tudjuk, hogy \(\displaystyle a_{n-1}\neq 0\). Most válasszuk külön a számjegyek összegét úgy, hogy mindegyik hatványból kivonjuk az együtthatójának megfelelő számjegyet, majd a számjegyek összegét ehhez adjuk hozzá:

\(\displaystyle a_{n-1}\cdot n^{n-1}+a_{n-2}\cdot n^{n-2}+ \ldots + a_{1}\cdot n + a_{0}=\)

\(\displaystyle =a_{n-1}\big(n^{n-1}-1 \big)+ a_{n-2} \big( n^{n-2}-1 \big)+ \ldots + a_{1} (n-1) + a_{n-1}+a_{n-2}+ \ldots +a_{1}+ a_{0}.\)

Az \(\displaystyle a_{i}\big(n^{i}-1\big)\) tagok mindegyikéből az ismert algebrai azonosság alapján kiemelhető \(\displaystyle (n-1)\). A számjegyek összege pedig valamilyen sorrendben éppen a \(\displaystyle 0, 1, 2, \ldots , (n-1)\) számokból áll, így ezt az összeget is fel tudjuk pontosan írni:

\(\displaystyle 1+2+\ldots +(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}.\)

A különbségek mindegyikéből a fentiek alapján kiemelhető \(\displaystyle n-1\), a számjegyek összegéből pedig páros \(\displaystyle n\) esetén \(\displaystyle (n-1)\), páratlan \(\displaystyle n\) esetén \(\displaystyle \frac{n-1}{2}\). Mivel a feladatban szereplő szám nagyobb, mint \(\displaystyle n^{n-1}\), így megadtuk egy valódi osztóját, tehát biztosan nem prímszám.

Statisztika:

122 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	79 versenyző.
3 pontot kapott:	28 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2016. januári matematika feladatai