Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4769. feladat (2016. február)

B. 4769. Melyek azok a háromszögek, melyek oldalainak harmadolópontjai egy körre illeszkednek?

Szoldatics József (Budapest) javaslata nyomán

(3 pont)

A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyenek \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) koncentrikus körök, középpontjuk \(\displaystyle O\), sugaraik rendre \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle r\), ahol \(\displaystyle R>r\) és \(\displaystyle r\geq \frac R3\).

Legyen \(\displaystyle AB\) a \(\displaystyle k_1\) kör olyan húrja, melyet a \(\displaystyle k_2\)-vel vett metszéspontjai harmadolnak.

A metszéspontok legyenek \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\), a húr felezőpontja \(\displaystyle F\), és \(\displaystyle OF=m\). Legyen \(\displaystyle CF=x\), ekkor \(\displaystyle AC=CD=2x\).

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt az \(\displaystyle AFO\) és \(\displaystyle CFO\) derékszögű háromszögekre:

\(\displaystyle 9x^2+m^2=R^2,\)

\(\displaystyle x^2+m^2=r^2.\)

A felső egyenletből kivonva az alsót:

\(\displaystyle 8x^2=R^2-r^2\), amiből \(\displaystyle x=\sqrt{\frac{R^2-r^2}{8}}\), vagyis \(\displaystyle AB=6x=3\sqrt{\frac{R^2-r^2}{2}}\).

Tehát adott \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle r\) esetén, ha \(\displaystyle r\geq\frac R3\), a forgásszimmetriától eltekintve egy ilyen \(\displaystyle AB\) húr van.

Ha egy háromszög oldalainak harmadolópontjai egy \(\displaystyle k_2\) körre esnek, akkor ez a kör koncentrikus a háromszög köré írt \(\displaystyle k_1\) körrel, hiszen a háromszög oldalfelező merőlegesei a \(\displaystyle k_2\) körbe eső húrok felezőmerőlegesei is egyben, így ugyanazt a középpontot határozzák meg. Az adott két körhöz viszont csak egy olyan \(\displaystyle h=3\sqrt{\frac{R^2-r^2}{2}}\) hosszúságú húr van, amit a \(\displaystyle k_2\) kör harmadol, így az ilyen háromszögek csak egyenlő oldalúak lehetnek.


Statisztika:

136 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:119 versenyző.
2 pontot kapott:12 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2016. februári matematika feladatai