 |
A B. 4779. feladat (2016. március) |
B. 4779. Határozzuk meg az \(\displaystyle ABC\) háromszög szögeit, ha tudjuk, hogy az \(\displaystyle AB\) oldal két harmadolópontja és a \(\displaystyle BC\) oldal két, a csúcsokhoz közelebbi negyedelőpontja olyan húrnégyszöget alkot, melynek körülírt köre érinti a \(\displaystyle CA\) oldalt.
(4 pont)
A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.
1. megoldás. Az ábra jelöléseit használva a háromszög köré írt kör középpontja legyen \(\displaystyle O\), sugara \(\displaystyle R\), az \(\displaystyle AB\) oldal harmadoló pontjai legyenek \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\), felezőpontja \(\displaystyle F\). A \(\displaystyle BC\) oldal negyedelő pontjai \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\) és \(\displaystyle M\).
A \(\displaystyle HGML\) húrnégyszög köré írható \(\displaystyle k\) kör koncentrikus a háromszög köré írható körrel, hiszen \(\displaystyle HG\) húrjának és a háromszög \(\displaystyle AB\) oldalának közös a felezőmerőlegese, valamint az \(\displaystyle LM\) húr és a \(\displaystyle BC\) oldal felezőmerőlegesei is megegyeznek.
A \(\displaystyle k\) kör sugarát jelöljük \(\displaystyle r\)-rel. Legyen \(\displaystyle OF=m\), \(\displaystyle HF=x\), ekkor \(\displaystyle AH=2x\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt az \(\displaystyle AFO\) és \(\displaystyle HFO\) derékszögű háromszögekre:
\(\displaystyle 9x^2+m^2=R^2,\)
\(\displaystyle x^2+m^2=r^2.\)
A felső egyenletből kivonva az alsót: \(\displaystyle 8x^2=R^2-r^2\), amiből \(\displaystyle x=\sqrt{\frac{R^2-r^2}{8}}\), vagyis
\(\displaystyle c=AB=6x=3\sqrt{\frac{R^2-r^2}{2}}=\frac{3}{\sqrt2}\sqrt{R^2-r^2} =\frac{3\sqrt2}{2}\sqrt{R^2-r^2}=9\sqrt2\frac{\sqrt{R^2-r^2}}{6}. \)
Hasonlóan a \(\displaystyle BC\) oldal esetén, a \(\displaystyle BKO\) és \(\displaystyle MKO\) háromszögekre, ahol \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle B\) csúcshoz közeli negyedelő pont. Legyen \(\displaystyle BM=MK=y\) és \(\displaystyle OK=p\). Ekkor
\(\displaystyle 4y^2+p^2=R^2,\)
\(\displaystyle y^2+p^2=r^2.\)
A felső egyenletből kivonva az alsót: \(\displaystyle 3y^2=R^2-r^2\), amiből \(\displaystyle y=\sqrt{\frac{R^2-r^2}{3}}\), vagyis
\(\displaystyle a=BC=4y=4\sqrt{\frac{R^2-r^2}{3}}=\frac{4}{\sqrt3}\sqrt{R^2-r^2} =\frac{4\sqrt3}{3}\sqrt{R^2-r^2}=8\sqrt3 \frac{\sqrt{R^2-r^2}}{6}.\)
Az \(\displaystyle AC\) oldalnál a \(\displaystyle CEO\) derékszögű háromszögben:
\(\displaystyle CE^2=R^2-r^2\), amiből \(\displaystyle b=AC=2CE=2\sqrt{R^2-r^2}=12\frac{\sqrt{R^2-r^2}}{6}\).
Válasszuk egységnek a \(\displaystyle \frac{\sqrt{R^2-r^2}}{6}\) értéket, ekkor a \(\displaystyle c=9\sqrt2\), \(\displaystyle a=8\sqrt3\) és \(\displaystyle b=12\) egység oldalú háromszög szögeit keressük. Használjuk a koszinusztételt:
\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{144+162-192}{216\sqrt2}=\frac{114}{216\sqrt2},\)
amiből \(\displaystyle \alpha\approx 68,087^{\circ}\).
Ezután alkalmazzuk a szinusztételt:
\(\displaystyle \sin\beta=\frac ba \sin\alpha\approx \frac{12}{8\sqrt3}\sin 68,089^{\circ}\), amiből \(\displaystyle \beta\approx 53,463^{\circ}\) (a másik szög nem jó).
Végül \(\displaystyle \gamma=180^{\circ}-\alpha-\beta\approx 58,450^{\circ}\). Ezzel a háromszög szögeit meghatároztuk.
2. megoldás. Minden \(\displaystyle X\) pontra jelölje \(\displaystyle h_X\) az \(\displaystyle X\)-nek e körre vonatkozó hatványát. Érintse a kör a \(\displaystyle CA\) oldalt \(\displaystyle P\)-ben. Ekkor
\(\displaystyle AP^2 = h_A = \frac{2}{9}c^2 = h_B = \frac{3}{16}a^2 = h_C = CP^2\,. \)
Így \(\displaystyle AP = CP = \dfrac{b}{2}\), és
\(\displaystyle \frac{2}{9}c^2 = \frac{3}{16}a^2 = \frac{1}{4}b^2\,, \)
\(\displaystyle c^2:b^2:a^2 = 27 : 24 : 32\,,\, \text{ azaz }\, c:b:a = 3\sqrt{3} : 2\sqrt{6} : 4\sqrt{2}\,. \)
A koszinusztétel szerint
\(\displaystyle \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 -a^2}{2bc} = \frac{19}{12\sqrt{18}}\,,\, \cos \beta = \frac{a^2 + c^2- b^2}{2ac} = \frac{35}{24\sqrt{6}}\,,\, \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 -c^2}{2ab} = \frac{29}{16\sqrt{12}}\,. \)
Tehát \(\displaystyle \alpha \approx 68,1^{\circ}\), \(\displaystyle \beta \approx 53,5^{\circ}\), \(\displaystyle \gamma \approx 58,5^{\circ}\).
Statisztika:
78 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 61 versenyző. 3 pontot kapott: 8 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2016. márciusi matematika feladatai