 |
A B. 4802. feladat (2016. május) |
B. 4802. A \(\displaystyle \mathcal{K}\) egyenes körkúp beírt gömbje \(\displaystyle \mathcal{G}\). Az \(\displaystyle r\) sugarú \(\displaystyle g_1, g_2, \dots, g_n\) gömbök középpontjai \(\displaystyle 2r\) oldalú szabályos \(\displaystyle n\)-szöget alkotnak. Továbbá a \(\displaystyle g_i\) gömbök mindegyike érinti \(\displaystyle \mathcal{K}\) palástját és alaplapját, valamint \(\displaystyle \mathcal{G}\)-t is. Milyen értékeket vehet föl \(\displaystyle n\)?
(Szovjet versenyfeladat)
(6 pont)
A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.
Megoldásvázlat. A körkúp alapkörének sugara legyen egységnyi, a \(\displaystyle \mathcal G\) sugarát jelölje \(\displaystyle R<1\). A \(\displaystyle \mathcal G\) és \(\displaystyle g_1\) gömbök középpontját tartalmazó, a kúp alapjára merőleges sík szerinti metszetet az 1. ábra mutatja.
1. ábra
Pitagorasz tétele szerint e két gömb alapot érintő pontjainak távolsága \(\displaystyle \sqrt{(R+r)^2-(R-r)^2}=2\sqrt{Rr}\), így a párhuzamos szelők tétele alapján \(\displaystyle \dfrac{r}{R}=1-2\sqrt{Rr}\), amiből
\(\displaystyle r=2R^3+R-2R^2\sqrt{R^2+1}, \mathrm{~azaz~} 0<\dfrac{r}{R}=2R^2+1-2R\sqrt{R^2+1}<1\,. \)
A \(\displaystyle g_1\), \(\displaystyle g_2\), \(\displaystyle \ldots\)., \(\displaystyle g_n\) gömbök középpontjai egy síkban, a kúp forgástengelyétől \(\displaystyle 2\sqrt{Rr}\) távolságra helyezkednek el.
2. ábra
A \(\displaystyle 2\sqrt{Rr}\) sugarú körbe írt szabályos \(\displaystyle n\)-szög oldalának hosszúsága \(\displaystyle 2\cdot 2\sqrt{Rr}\sin \dfrac{\pi}{n}=2r\), ezért
\(\displaystyle \sin \dfrac{\pi}{n}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{r}{R}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2R^2+1-2R\sqrt{R^2+1}}\,. \)
A (nyílt) \(\displaystyle (0,1)\) intervallumon értelmezett \(\displaystyle R \mapsto 2R^2+1-2R\sqrt{R^2+1}\) függvény értékkészlete \(\displaystyle (3-2\sqrt{2},1)\). Ezért
\(\displaystyle \dfrac{1}{2}\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2} < \sin \dfrac{\pi}{n}<\dfrac{1}{2}\,, \)
ami \(\displaystyle 7\leqslant n \leqslant 15\) esetén teljesül.
Statisztika:
39 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Andó Angelika, Borbényi Márton, Cseh Kristóf, Gáspár Attila, Horváth András János, Imolay András, Klász Viktória, Kocsis Júlia, Kővári Péter Viktor, Lajkó Kálmán, Matolcsi Dávid, Nagy Dávid Paszkál, Sudár Ákos, Tóth Viktor, Török Zsombor Áron, Váli Benedek, Várkonyi Dorka, Zólomy Kristóf. 5 pontot kapott: Bukva Balázs, Döbröntei Dávid Bence, Fuisz Gábor, Kondákor Márk, Kosztolányi Kata, Losonczy Richárd, Márton Dénes, Páli Petra, Szabó Kristóf, Szakály Marcell, Szemerédi Levente. 4 pontot kapott: 1 versenyző. 3 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2016. májusi matematika feladatai