A B. 4805. feladat (2016. szeptember)

B. 4805. Oldjuk meg az \begin{align*} x+y+z&=2,\\ xyz&=2(xy+yz+zx) \end{align*} egyenletrendszert a valós számok halmazán.

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle xyz = 2(xy+yz+zx)=2t\). Mivel

\(\displaystyle (a-x)(a-y)(a-z)=a^3-(x+y+z)a^2+(xy+yz+zx)a-xyz=a^3-2a^2+ta-2t=(a-2)(a^2+t),\)

ezért az \(\displaystyle x,y,z\) valós számok közül az egyik a 2, a másik kettő pedig az \(\displaystyle a^2+t=0\) egyenlet két gyöke. Így \(\displaystyle t\) értéke nem lehet pozitív, a két gyök pedig \(\displaystyle \pm \sqrt{-t}\). Azt kaptuk tehát, hogy a megoldások a \(\displaystyle 2,u,-u\) alakú számhármasok, ahol \(\displaystyle u\) tetszőleges valós szám lehet (és \(\displaystyle x,y,z\) sorrendje is tetszőleges). Ezek a hármasok könnyen ellenőrizhetően valóban megoldást adnak, hiszen

\(\displaystyle x+y+z=2+u+(-u)=2\)

és

\(\displaystyle xyz=2u(-u)=-2u^2=2(2u+2(-u)+u(-u))=2(xy+yz+zx).\)

Statisztika:

215 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	96 versenyző.
3 pontot kapott:	64 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	33 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2016. szeptemberi matematika feladatai