Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4851. feladat (2017. február)

B. 4851. Bizonyítsuk be, hogy ha az

\(\displaystyle x^3-px^2+qx-r=0 \)

egyenlet mindhárom gyöke pozitív, akkor a gyökök reciprok értékeinek összege legfeljebb \(\displaystyle \frac{p^2}{3r}\).

Javasolta: Kovács Márton (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2017. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen az egyenlet három gyöke \(\displaystyle x_1,x_2,x_3\). Ekkor a Viète-formulák szerint

\(\displaystyle p=x_1+x_2+x_3,\)

\(\displaystyle q=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1,\)

\(\displaystyle r=x_1x_2x_3.\)

(Ebből látható, hogy \(\displaystyle p,q,r\) is pozitív számok.) Ezt felhasználva a gyökök reciprokösszege:

\(\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1}{x_1x_2x_3}=\frac{q}{r}.\)

Így a bizonyítandó egyenlőtlenség:

\(\displaystyle \frac{q}{r}\leq \frac{p^2}{3r}.\)

Ekvivalens átalakítás, ha szorzunk a (pozitív) \(\displaystyle 3r\) számmal:

\(\displaystyle 3q\leq p^2.\)

A \(\displaystyle q\) és \(\displaystyle p\) számokat a gyökökkel kifejezve:

\(\displaystyle 3(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)\leq (x_1+x_2+x_3)^2.\)

Az egyenletet 2-vel szorozva, rendezve, és teljes négyzeteket kialakítva a következő egyenlőtlenséget kapjuk:

\(\displaystyle 0\leq (x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2.\)

Ez pedig valóban teljesül, amivel a feladat állítását igazoltuk.


Statisztika:

118 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:73 versenyző.
3 pontot kapott:36 versenyző.
2 pontot kapott:7 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2017. februári matematika feladatai