 |
A B. 4851. feladat (2017. február) |
B. 4851. Bizonyítsuk be, hogy ha az
\(\displaystyle x^3-px^2+qx-r=0 \)
egyenlet mindhárom gyöke pozitív, akkor a gyökök reciprok értékeinek összege legfeljebb \(\displaystyle \frac{p^2}{3r}\).
Javasolta: Kovács Márton (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2017. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen az egyenlet három gyöke \(\displaystyle x_1,x_2,x_3\). Ekkor a Viète-formulák szerint
\(\displaystyle p=x_1+x_2+x_3,\)
\(\displaystyle q=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1,\)
\(\displaystyle r=x_1x_2x_3.\)
(Ebből látható, hogy \(\displaystyle p,q,r\) is pozitív számok.) Ezt felhasználva a gyökök reciprokösszege:
\(\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1}{x_1x_2x_3}=\frac{q}{r}.\)
Így a bizonyítandó egyenlőtlenség:
\(\displaystyle \frac{q}{r}\leq \frac{p^2}{3r}.\)
Ekvivalens átalakítás, ha szorzunk a (pozitív) \(\displaystyle 3r\) számmal:
\(\displaystyle 3q\leq p^2.\)
A \(\displaystyle q\) és \(\displaystyle p\) számokat a gyökökkel kifejezve:
\(\displaystyle 3(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)\leq (x_1+x_2+x_3)^2.\)
Az egyenletet 2-vel szorozva, rendezve, és teljes négyzeteket kialakítva a következő egyenlőtlenséget kapjuk:
\(\displaystyle 0\leq (x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2.\)
Ez pedig valóban teljesül, amivel a feladat állítását igazoltuk.
Statisztika:
118 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 73 versenyző. 3 pontot kapott: 36 versenyző. 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2017. februári matematika feladatai