 |
A B. 4887. feladat (2017. szeptember) |
B. 4887. Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok olyan \(\displaystyle (a,b)\) számpár van, amelyre \(\displaystyle a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{a}\), ahol \(\displaystyle a\ne b\). Adjuk meg \(\displaystyle ab\) lehetséges értékeit.
Javasolta: Szoldatics József (Budapest)
(3 pont)
A beküldési határidő 2017. október 10-én LEJÁRT.
1. megoldás. Az \(\displaystyle a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{a}\) egyenletet átrendezhetjük \(\displaystyle a-\frac{1}{a}=b-\frac{1}{b}\) alakba. Vagyis az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) számokra annak kell teljesülnie, hogy az \(\displaystyle f(x)=x-\frac{1}{x}\) függvény ugyanazt az értéket veszi fel \(\displaystyle a\)-ban és \(\displaystyle b\)-ben: \(\displaystyle f(a)=f(b)\). Vizsgáljuk meg, mely \(\displaystyle c\)-kre lehet ez a közös érték éppen \(\displaystyle c\). Az \(\displaystyle f(x)=c\) egyenlet pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x^2-cx-1=0\). Az így kapott másodfokú egyenletnek minden \(\displaystyle c\)-re két különböző valós megoldása van, mert a diszkriminánsa pozitív: \(\displaystyle c^2+4>0\). Tehát az egyenlet két megoldása minden valós \(\displaystyle c\)-re egy megfelelő számpárt alkot, vagyis végtelen sok ilyen számpár van. A gyökök és együtthatók közötti összefüggésből az egyenlet két gyökének szorzata (\(\displaystyle c\) értékétől függetlenül) mindig \(\displaystyle -1\), vagyis minden megfelelő számpárra \(\displaystyle ab=-1\).
2. megoldás. Az egyenletet rendezzük egy oldalra, szorozzuk meg \(\displaystyle ab\neq0\)-val, és emeljük ki \(\displaystyle (a-b)\)-t:
\(\displaystyle a-b+\frac{1}{b}-\frac{1}{a} = 0 \)
\(\displaystyle a^2b-ab^2+a-b = 0 \)
\(\displaystyle (a-b)(ab+1) = 0. \)
A feltétel szerint \(\displaystyle a-b\ne0\), így biztosan \(\displaystyle ab+1=0\), vagyis
\(\displaystyle ab = -1. \)
Ha \(\displaystyle a\neq0\) tetszőleges valós szám, akkor \(\displaystyle b=\frac{-1}{a}\) választással \(\displaystyle ab=-1\) és \(\displaystyle a\neq b\) is teljesül. Ekkor a lépéseink megfordíthatók, hiszen sem \(\displaystyle a\), sem \(\displaystyle b\), sem \(\displaystyle a-b\) nem lehet nulla, tehát az \(\displaystyle a-\frac1a=b-\frac1b\) egyenlet biztosan teljesül.
Tehát valóban végtelen sok megfelelő \(\displaystyle (a,b)\) számpár van, melyek mindegyikére \(\displaystyle ab=-1\).
Statisztika:
258 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 161 versenyző. 2 pontot kapott: 65 versenyző. 1 pontot kapott: 22 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2017. szeptemberi matematika feladatai