A B. 4897. feladat (2017. október)

B. 4897. Adott a síkon \(\displaystyle n\) darab pont. Mutassuk meg, hogy kiválasztható közülük három – mondjuk \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) – úgy, hogy \(\displaystyle ABC\sphericalangle\le 180^\circ /n\).

(4 pont)

A beküldési határidő 2017. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Feltehető, hogy a pontok közül semelyik három nem kollineáris, különben lenne \(\displaystyle 0^\circ\)-os szög is. Legyen a pontok konvex burkának három egymást követő csúcsa (ebben a sorrendben) \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\). Ha \(\displaystyle ABC\angle\geq 180^\circ-2\cdot 180^\circ /n\), akkor \(\displaystyle ACB\angle\) vagy \(\displaystyle CAB\angle\) megfelelő, különben az \(\displaystyle ABC\) háromszög belső szögeinek összege \(\displaystyle 180^\circ\)-nál nagyobb lenne. Egyébként \(\displaystyle B\)-t a maradék \(\displaystyle n-3\) ponttal összekötve az \(\displaystyle ABC\) szöget \(\displaystyle n-2\) részre bontjuk. Ezek közül a legkisebb legfeljebb \(\displaystyle (180^\circ-2\cdot 180^\circ /n)/(n-2)=180^\circ /n\).

Statisztika:

122 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	94 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2017. októberi matematika feladatai