Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4914. feladat (2017. december)

B. 4914. Legyen \(\displaystyle p(x)\) olyan egész együtthatós polinom, amely négy különböző egész helyen is a 2000 értéket veszi fel.

\(\displaystyle a)\) Igazoljuk, hogy nincs olyan \(\displaystyle x_0\) egész szám, amelyre \(\displaystyle p(x_0)=2017\).

\(\displaystyle b)\) Adjunk meg olyan (a fenti feltételnek megfelelő) \(\displaystyle p(x)\) polinomot és \(\displaystyle x_1\) egész számot, amelyre \(\displaystyle p(x_1)=2018\) teljesül.

(4 pont)

A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A \(\displaystyle p(x)\) polinomról tudjuk, hogy 4 különböző egész helyen is 2000-et vesz fel: \(\displaystyle p(a)=p(b)=p(c)=p(d)=2000\) (ahol \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) páronként különböző egész számok). Legyen \(\displaystyle q(x)=p(x)-2000\), ekkor \(\displaystyle q(x)\) olyan egész együtthatós polinom, melynek \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) négy különböző egész gyöke. Ezért az \(\displaystyle x-a\), \(\displaystyle x-b\), \(\displaystyle x-c\), \(\displaystyle x-d\) gyöktényezőket kiemelve kapjuk, hogy van olyan \(\displaystyle r(x)\) polinom, amivel \(\displaystyle q(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)r(x)\). Mivel \(\displaystyle q(x)\) egész együtthatós, \(\displaystyle (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)\) pedig 1 főegyütthatójú egész együtthatós polinom, ezért \(\displaystyle r(x)\) is egész együtthatós.

Ha valamely \(\displaystyle x_0\) egész számra \(\displaystyle p(x_0)=2017\) lenne, akkor \(\displaystyle q(x_0)=(x_0-a)(x_0-b)(x_0-c)(x_0-d)r(x_0)=17\) is teljesülne. Az \(\displaystyle x_0-a,x_0-b,x_0-c,x_0-d\) különböző egész számok, \(\displaystyle r(x_0)\) szintén egész szám. A 17 prímszám, így összesen négy osztója van (az egész számok körében), tehát csak \(\displaystyle \{x_0-a,x_0-b,x_0-c,x_0-d\}=\{-17,-1,1,17\}\) lehetséges. Azonban ekkor \(\displaystyle |(x_0-a)(x_0-b)(x_0-c)(x_0-d)r(x_0)|\geq 17^2>17\) lenne, ami azt jelenti, hogy \(\displaystyle p(x_0)=2017\) nem lehetséges, a feladat a) részét igazoltuk.

A b) rész megoldásához a korábban bevezetett jelöléseket használva, azt szeretnénk, hogy \(\displaystyle q(x_1)=(x_1-a)(x_1-b)(x_1-c)(x_1-d)r(x_1)=18\) legyen. Ebben az 5-tényezős szorzatban az első négy tényezőnek különbözőnek kell lennie, és a szorzat 18 kell legyen. Legyen például

\(\displaystyle x_1-a=1,x_1-b=-1,x_1-c=2,x_1-d=-9\)

és \(\displaystyle r\equiv 1\). Ha például \(\displaystyle x_1=0\)-t választunk, akkor legyen \(\displaystyle a=-1,b=1,c=-2,d=9\). Ekkor tehát \(\displaystyle p(x)=q(x)+2000=(x+1)(x-1)(x+2)(x-9)+2000\) és \(\displaystyle x_1=0\) megfelelő választás: \(\displaystyle p(x)\) értéke 2000 a \(\displaystyle -1,1,-2,9\) helyeken, és \(\displaystyle p(x_1)=p(0)=2018\).


Statisztika:

A B. 4914. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2017. decemberi matematika feladatai