 |
A B. 4958. feladat (2018. május) |
B. 4958. Egy háromszög oldalai \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), a beírt kör sugara \(\displaystyle r\), a köréírt kör sugara \(\displaystyle R\). Bizonyítsuk be, hogy ha
\(\displaystyle a+b+c =\frac{4}{rR} \quad\text{és}\quad \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} =6, \)
akkor \(\displaystyle R=2r\).
(Román versenyfeladat)
(4 pont)
A beküldési határidő 2018. június 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Használjuk az 1. ábra jelöléseit. \(\displaystyle T_{ABC}=T_{ABK}+T_{BCK}+T_{ACK}=\frac{a+b+c}{2}\cdot r\), valamint \(\displaystyle T_{ABC}=\frac{ab\sin γ}{2}\).
1. ábra
A \(\displaystyle BFO\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle \frac c2=R\sin γ\). A feladat első egyenletéből:
\(\displaystyle \frac{a+b+c}{2}\cdot rR=2,\)
\(\displaystyle T_{ABC}\cdot R=2,\)
\(\displaystyle \frac{ab\sin γ}{2}\cdot R=2,\)
\(\displaystyle \frac{ab}{2}\cdot R\sin γ=2,\)
\(\displaystyle \frac{ab}{2}\cdot\frac c2=2,\)
\(\displaystyle abc=8.\)
Használjuk fel a számtani és mértani közép közötti összefüggést a második egyenlet jobb oldalának átalakítására:
\(\displaystyle \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{3}≥\root 3\of {\sqrt{ab}\sqrt{bc}\sqrt{ca}} =\root 3\of {abc},\)
\(\displaystyle 6=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}≥3\root 3\of {abc}=3\root 3\of 8=6.\)
Ebből látszik, hogy a számtani és mértani közép egyenlő. Ez csak akkor lehetséges, ha \(\displaystyle a=b=c\), vagyis a háromszög egyenlő oldalú (2. ábra)
2. ábra
Ha egy egyenlő oldalú háromszögben s a súlyvonal hossza, akkor \(\displaystyle R=\frac23 s\), \(\displaystyle r=\frac13 s\), és így \(\displaystyle R=2r\).
Statisztika:
68 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 59 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2018. májusi matematika feladatai